Номер 424, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 424, страница 173.

424 а) Несколько человек договорились оплатить экскурсию, разделив её стоимость, 720 р., поровну. Однако в назначенный день на экскурсию пришли на 3 человека меньше, поэтому каждому пришлось заплатить на 40 р. больше, чем предполагалось. Сколько человек участвовало в экскурсии?

б) Одна поездка на автобусе в город и обратно обходится Диме на 30 р. дороже, чем на электричке. У Димы есть 900 р., которые он может потратить на дорогу. Он подсчитал, что, пользуясь электричкой, он может сделать на 1 поездку больше, чем пользуясь автобусом. Найдите стоимость поездки в город и обратно на электричке.

а)

Пусть $x$ — это первоначальное количество человек, которые договорились поехать на экскурсию. Тогда каждый из них должен был заплатить $\frac{720}{x}$ рублей.

По факту на экскурсию пришло на 3 человека меньше, то есть $(x-3)$ человека. Каждому из них пришлось заплатить $\frac{720}{x-3}$ рублей.

Из условия задачи известно, что фактическая плата с человека оказалась на 40 рублей больше, чем предполагалось. Составим уравнение:

$\frac{720}{x-3} - \frac{720}{x} = 40$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 40:

$\frac{18}{x-3} - \frac{18}{x} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{18x - 18(x-3)}{x(x-3)} = 1$

$\frac{18x - 18x + 54}{x^2 - 3x} = 1$

$\frac{54}{x^2 - 3x} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$):

$x^2 - 3x = 54$

$x^2 - 3x - 54 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-3) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как количество человек не может быть отрицательным, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи. Значит, первоначально планировало поехать 9 человек.

Вопрос задачи — сколько человек участвовало в экскурсии. Это количество равно $x-3$.

$9 - 3 = 6$ (человек)

Проверка: Изначально 9 человек должны были заплатить по $720 / 9 = 80$ р. По факту 6 человек заплатили по $720 / 6 = 120$ р. Разница составляет $120 - 80 = 40$ р., что соответствует условию задачи.

Ответ: 6 человек.

б)

Пусть $y$ рублей — стоимость одной поездки в город и обратно на электричке. Тогда стоимость такой же поездки на автобусе составляет $(y+30)$ рублей.

У Димы есть 900 рублей. На эту сумму он может совершить $\frac{900}{y}$ поездок на электричке или $\frac{900}{y+30}$ поездок на автобусе.

По условию, пользуясь электричкой, он может сделать на 1 поездку больше. Составим уравнение:

$\frac{900}{y} - \frac{900}{y+30} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{900(y+30) - 900y}{y(y+30)} = 1$

$\frac{900y + 27000 - 900y}{y^2 + 30y} = 1$

$\frac{27000}{y^2 + 30y} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение (при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq -30$):

$y^2 + 30y = 27000$

$y^2 + 30y - 27000 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27000) = 900 + 108000 = 108900$

$\sqrt{D} = \sqrt{108900} = 330$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-30 + 330}{2 \cdot 1} = \frac{300}{2} = 150$

$y_2 = \frac{-30 - 330}{2 \cdot 1} = \frac{-360}{2} = -180$

Так как стоимость поездки не может быть отрицательной, корень $y_2 = -180$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, стоимость поездки на электричке составляет 150 рублей.

Проверка: Стоимость поездки на электричке — 150 р. Количество поездок: $900 / 150 = 6$. Стоимость поездки на автобусе — $150 + 30 = 180$ р. Количество поездок: $900 / 180 = 5$. Разница в количестве поездок: $6 - 5 = 1$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 150 р.