Страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

436 Разберите, как составлено уравнение по условию задачи, и доведите решение задачи до конца.

Электротехник и его ученик вместе выполнили работу за 8 ч. За сколько часов эту работу мог бы выполнить электротехник, работая один, если известно, что его ученик работает в 2 раза медленнее?

Пусть электротехник может выполнить работу за x ч. Тогда 2x ч — время, за которое выполнит работу ученик;

$\frac{1}{x}$ — такую часть работы выполняет электротехник за 1 ч;

$\frac{1}{2x}$ — такую часть работы выполняет ученик за 1 ч;

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}$ — часть работы, которую выполняют за 1 ч электротехник и ученик, работая вместе.

За 8 ч, работая вместе, они выполнили всю работу, поэтому

$8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}\right) = 1.$

Разбор составления уравнения:

Уравнение, представленное в задаче, составлено на основе понятий производительности труда.

1. Весь объем работы принимается за единицу (1).

2. Пусть $x$ — время в часах, за которое электротехник выполняет всю работу самостоятельно.

3. По условию, ученик работает в 2 раза медленнее. Это означает, что на выполнение той же работы ему потребуется в 2 раза больше времени. Следовательно, время ученика — $2x$ часов.

4. Производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени (за 1 час).
- Производительность электротехника: $\frac{1}{x}$ часть работы в час.
- Производительность ученика: $\frac{1}{2x}$ часть работы в час.

5. Когда они работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}$.

6. Общий объем выполненной работы равен произведению совместной производительности на время работы. По условию, они выполнили всю работу (1) за 8 часов. Отсюда и получается уравнение:
$8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}\right) = 1$

Решение.

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти $x$.
$8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}\right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $2x$:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{2}{2x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{2x}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$8 \cdot \frac{3}{2x} = 1$

Выполним умножение в левой части:
$\frac{24}{2x} = 1$

Сократим дробь на 2:
$\frac{12}{x} = 1$

Отсюда находим $x$:
$x = 12$

Следовательно, электротехник, работая один, может выполнить работу за 12 часов.

Ответ: электротехник мог бы выполнить эту работу за 12 часов.

Решите задачу (437–439).

437 Коля и Миша, работая вместе, выполнили сортировку газет за 4 мин. Коля может выполнить это задание на 6 мин быстрее Миши. За сколько минут Коля выполнит это задание, работая один?

437.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это время в минутах, за которое Коля может выполнить всю работу по сортировке газет, работая один.

Согласно условию, Коля выполняет это задание на 6 минут быстрее Миши. Это означает, что Мише для выполнения той же работы в одиночку требуется на 6 минут больше времени. Следовательно, время Миши составляет $(x + 6)$ минут.

Примем всю работу за единицу (1). Тогда производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за одну минуту. Производительность Коли равна $P_К = \frac{1}{x}$, а производительность Миши — $P_М = \frac{1}{x+6}$.

Когда они работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность $P_{совм}$ равна: $P_{совм} = P_К + P_М = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$

Известно, что работая вместе, они выполнили всю работу за 4 минуты. Работа равна произведению совместной производительности на время: $1 = P_{совм} \times 4$

Подставим в это уравнение выражение для совместной производительности и составим уравнение: $1 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}\right) \times 4$

Теперь решим полученное уравнение. Разделим обе части на 4: $\frac{1}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(x+6)$: $\frac{1}{4} = \frac{x+6+x}{x(x+6)}$
$\frac{1}{4} = \frac{2x+6}{x^2+6x}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей: $1 \cdot (x^2+6x) = 4 \cdot (2x+6)$
$x^2 + 6x = 8x + 24$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 6x - 8x - 24 = 0$
$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$
$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательной величиной. Поэтому корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, единственное верное решение — $x=6$.

Таким образом, Коля выполнит задание за 6 минут, работая один.

Ответ: 6 минут.

438 Для ремонта участка дороги выделили две бригады, одна из которых могла бы выполнить весь ремонт на 7 дней быстрее другой. Работу начали одновременно с двух концов участка и через 9 дней выполнили $75\%$ всей работы. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение ремонта всей дороги?

Пусть время, за которое первая (более быстрая) бригада может выполнить весь ремонт, работая в одиночку, составляет $x$ дней. Поскольку вторая бригада выполняет ту же работу на 7 дней дольше, ей потребуется $x+7$ дней.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) для первой бригады равна $\frac{1}{x}$, а для второй — $\frac{1}{x+7}$.

При совместной работе их общая производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+7}$.

По условию задачи, работая вместе в течение 9 дней, бригады выполнили 75% всей работы. 75% можно представить в виде дроби $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Составим уравнение, умножив общую производительность на время работы и приравняв к выполненному объему работы:$9 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+7}\right) = \frac{3}{4}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:$9 \cdot \frac{x+7+x}{x(x+7)} = \frac{3}{4}$

$9 \cdot \frac{2x+7}{x^2+7x} = \frac{3}{4}$

Разделим обе части уравнения на 3:$3 \cdot \frac{2x+7}{x^2+7x} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:$4 \cdot 3(2x+7) = 1 \cdot (x^2+7x)$

$12(2x+7) = x^2+7x$

$24x + 84 = x^2+7x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + 7x - 24x - 84 = 0$

$x^2 - 17x - 84 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 289 + 336 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-(-17) + 25}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 25}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-(-17) - 25}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 25}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как количество дней не может быть отрицательным, корень $x_2 = -4$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, время выполнения работы первой бригадой составляет 21 день.

Время выполнения работы второй бригадой составляет:$x + 7 = 21 + 7 = 28$ дней.

Ответ: первой бригаде потребовалось бы 21 день, а второй — 28 дней.