Номер 445, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 445, страница 184.

445 Решите систему линейных уравнений:

a) $\begin{cases} x + 3y = 8 \\ 2x - y = -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3m - 4n = 20 \\ m + 2n = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x+z}{2} = 1 \\ x - z = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2x + 5y = -3 \\ 4x + 3y = -27; \end{cases}$

д) $\begin{cases} t - 5s = 0 \\ 2t - s = 9; \end{cases}$

е) $\begin{cases} \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = \frac{1}{2} \\ 2y + 3z = 1. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 3y = 8 \\ 2x - y = -5 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 8 - 3y$
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$2(8 - 3y) - y = -5$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$16 - 6y - y = -5$
$16 - 7y = -5$
$-7y = -5 - 16$
$-7y = -21$
$y = \frac{-21}{-7} = 3$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 8 - 3 \cdot 3 = 8 - 9 = -1$

Ответ: $x = -1, y = 3$.

б) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3m - 4n = 20 \\ m + 2n = 0 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $m$:
$m = -2n$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3(-2n) - 4n = 20$
Решим уравнение относительно $n$:
$-6n - 4n = 20$
$-10n = 20$
$n = \frac{20}{-10} = -2$
Теперь найдем $m$, подставив значение $n$ в выражение для $m$:
$m = -2(-2) = 4$

Ответ: $m = 4, n = -2$.

в) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x+z}{2} = 1 \\ x - z = 3 \end{cases} $$ Сначала упростим первое уравнение, умножив обе его части на 2:
$x + z = 2$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} x + z = 2 \\ x - z = 3 \end{cases} $$ Используем метод сложения. Сложим два уравнения:
$(x + z) + (x - z) = 2 + 3$
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2.5$
Подставим значение $x$ в первое упрощенное уравнение, чтобы найти $z$:
$2.5 + z = 2$
$z = 2 - 2.5 = -0.5$

Ответ: $x = 2.5, z = -0.5$.

г) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 5y = -3 \\ 4x + 3y = -27 \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$-2(2x + 5y) = -2(-3) \implies -4x - 10y = 6$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-4x - 10y) + (4x + 3y) = 6 + (-27)$
$-7y = -21$
$y = \frac{-21}{-7} = 3$
Подставим значение $y$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:
$2x + 5(3) = -3$
$2x + 15 = -3$
$2x = -3 - 15$
$2x = -18$
$x = \frac{-18}{2} = -9$

Ответ: $x = -9, y = 3$.

д) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} t - 5s = 0 \\ 2t - s = 9 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $t$:
$t = 5s$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(5s) - s = 9$
$10s - s = 9$
$9s = 9$
$s = 1$
Теперь найдем $t$, подставив значение $s$ в выражение для $t$:
$t = 5 \cdot 1 = 5$

Ответ: $t = 5, s = 1$.

е) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = \frac{1}{2} \\ 2y + 3z = 1 \end{cases} $$ Упростим первое уравнение, умножив обе его части на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2):
$6 \cdot (\frac{y}{3} - \frac{z}{2}) = 6 \cdot \frac{1}{2}$
$2y - 3z = 3$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} 2y - 3z = 3 \\ 2y + 3z = 1 \end{cases} $$ Используем метод сложения. Сложим два уравнения:
$(2y - 3z) + (2y + 3z) = 3 + 1$
$4y = 4$
$y = 1$
Подставим значение $y$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $z$:
$2(1) + 3z = 1$
$2 + 3z = 1$
$3z = 1 - 2$
$3z = -1$
$z = -\frac{1}{3}$

Ответ: $y = 1, z = -\frac{1}{3}$.