Номер 441, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 441, страница 182.

441 Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений, иметь бесконечно много решений. Пользуясь рисунком 3.13, а–в, запишите систему, соответствующую каждому из этих случаев. Решите алгебраически систему, имеющую одно решение.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными описывает взаимное расположение двух прямых на плоскости. В зависимости от этого расположения система может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

• Одно решение: Графики уравнений — это две прямые, пересекающиеся в одной точке. Координаты этой точки и являются единственным решением системы.
• Нет решений: Графики уравнений — это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
• Бесконечно много решений: Графики уравнений — это две совпадающие прямые. Каждая точка этой прямой является решением системы.

Ниже приведены примеры систем уравнений для каждого из трех случаев, которые могли бы соответствовать рисункам а, б и в.

а) Система, имеющая одно решение

Предположим, на рисунке а изображены две пересекающиеся прямые. Например, $y = -2x + 4$ и $y = x + 1$. Запишем их в виде системы уравнений:
$ \begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = x + 1 \end{cases} $
Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:
$ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ -x + y = 1 \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ -x + y = 1 \end{cases} $

б) Система, не имеющая решений

Предположим, на рисунке б изображены две параллельные прямые. У таких прямых одинаковые угловые коэффициенты, но разные свободные члены. Например, $y = 0.5x + 2$ и $y = 0.5x - 1$. Запишем систему, приведя уравнения к стандартному виду:
$ \begin{cases} -0.5x + y = 2 \\ -0.5x + y = -1 \end{cases} $
Для удобства можно умножить оба уравнения на 2:
$ \begin{cases} -x + 2y = 4 \\ -x + 2y = -2 \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} -x + 2y = 4 \\ -x + 2y = -2 \end{cases} $

в) Система, имеющая бесконечно много решений

Предположим, на рисунке в изображены две совпадающие прямые. Это означает, что одно уравнение системы является следствием другого (получено из него умножением на число). Например, возьмем уравнение $x - 3y = 2$ и умножим его на 3, чтобы получить второе уравнение $3x - 9y = 6$.

Ответ: $ \begin{cases} x - 3y = 2 \\ 3x - 9y = 6 \end{cases} $

Решение алгебраически системы, имеющей одно решение

Решим систему, составленную в пункте а). Есть несколько методов, воспользуемся методом подстановки.
Исходная система в удобном для подстановки виде: $ \begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = x + 1 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны ($y=y$), мы можем приравнять их правые части:
$-2x + 4 = x + 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$4 - 1 = x + 2x$
$3 = 3x$
$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$y = 1 + 1$
$y = 2$

Решением системы является упорядоченная пара чисел $(1; 2)$. Это координаты точки пересечения двух прямых.

Ответ: $(1; 2)$