Номер 448, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 448, страница 184.

448 a) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - xy = 4 \\ x - y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ 2x - 2y = -4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Воспользуемся формулой разности квадратов для первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Получим систему: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 21 \\ x + y = 3 \end{cases} $$

Подставим значение $x + y$ из второго уравнения в первое:
$(x - y) \cdot 3 = 21$

Разделим обе части уравнения на 3:
$x - y = \frac{21}{3}$
$x - y = 7$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 7 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 3 + 7$
$2x = 10$
$x = 5$

Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение $x + y = 3$:
$5 + y = 3$
$y = 3 - 5$
$y = -2$

Проверим решение:
$5^2 - (-2)^2 = 25 - 4 = 21$
$5 + (-2) = 3$
Решение верное.

Ответ: $(5; -2)$

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - xy = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ В первом уравнении вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - y) = 4$

Теперь подставим значение $x - y$ из второго уравнения в преобразованное первое:
$x \cdot 1 = 4$
$x = 4$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение $x - y = 1$:
$4 - y = 1$
$-y = 1 - 4$
$-y = -3$
$y = 3$

Проверим решение:
$4^2 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$
$4 - 3 = 1$
Решение верное.

Ответ: $(4; 3)$

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ 2x - 2y = -4 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:
$\frac{2(x - y)}{2} = \frac{-4}{2}$
$x - y = -2$

Первое уравнение разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Теперь мы можем подставить полученное выражение $x - y = -2$ в разложенное первое уравнение:
$(-2)(x + y) = 8$

Разделим обе части на -2, чтобы найти $x + y$:
$x + y = \frac{8}{-2}$
$x + y = -4$

Теперь решаем систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = -4 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения:
$(x - y) + (x + y) = -2 + (-4)$
$2x = -6$
$x = -3$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = -4$:
$-3 + y = -4$
$y = -4 + 3$
$y = -1$

Проверим решение:
$(-3)^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8$
$2(-3) - 2(-1) = -6 + 2 = -4$
Решение верное.

Ответ: $(-3; -1)$