Номер 455, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 455, страница 185.

455 С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений. Укажите приближённо её решения.

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + 2x = 2 - y \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y + 5 = 2x^2 - 4x \end{cases}$

Для определения количества решений системы уравнений с помощью графиков, необходимо построить графики каждого уравнения в системе и найти количество точек их пересечения. Каждая точка пересечения является решением системы. Приближенные решения определяются по координатам этих точек.

а)

Система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 + 2x = 2 - y \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение: $ x^2 + y^2 = 4 $.

Это уравнение окружности с центром в начале координат $ (0,0) $ и радиусом $ r = \sqrt{4} = 2 $. Окружность проходит через точки $ (2,0) $, $ (-2,0) $, $ (0,2) $, $ (0,-2) $.

Рассмотрим второе уравнение: $ x^2 + 2x = 2 - y $.

Выразим $ y $: $ y = -x^2 - 2x + 2 $.

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $ x^2 $ отрицателен). Найдем координаты вершины параболы:

$ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(-1)} = \frac{2}{-2} = -1 $

$ y_v = -(-1)^2 - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 $

Вершина параболы находится в точке $ (-1, 3) $.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• При $ x=0 $: $ y = -(0)^2 - 2(0) + 2 = 2 $. Точка $ (0,2) $.
• При $ y=0 $: $ -x^2 - 2x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 2 = 0 $.
  $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} $.
  $ x_1 \approx -1 + 1.732 = 0.732 $, $ x_2 \approx -1 - 1.732 = -2.732 $.

При графическом построении, мы видим, что парабола с вершиной $ (-1,3) $ (лежащей вне окружности) проходит через точку $ (0,2) $, которая также лежит на окружности. Это одна точка пересечения.

Парабола продолжает опускаться. Для $ x>0 $, когда $ y $ уменьшается, парабола пересечет нижнюю часть окружности. Проверим точки для параболы:

• При $ x=1 $: $ y = -(1)^2 - 2(1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1 $. Точка $ (1,-1) $.

Для окружности при $ x=1 $: $ 1^2 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73 $.

Точка $ (1,-1) $ лежит внутри окружности, так как $ 1^2 + (-1)^2 = 2 < 4 $. Продолжая следить за параболой, она должна пересечь окружность при дальнейшем уменьшении $ y $.

Из более точного анализа (подстановкой одного уравнения в другое: $ x^4 + 4x^3 + x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x^3 + 4x^2 + x - 8) = 0 $) получаем одно решение $ x=0 $, которое дает $ y=2 $, то есть $ (0,2) $. Кубическое уравнение $ x^3 + 4x^2 + x - 8 = 0 $ имеет только один действительный корень.

Оценим этот корень: при $ x=1 $, $ 1+4+1-8 = -2 $. При $ x=2 $, $ 8+16+2-8 = 18 $. Значит, корень находится между $ 1 $ и $ 2 $. Приближенно $ x \approx 1.15 $.

Для $ x \approx 1.15 $, $ y = -(1.15)^2 - 2(1.15) + 2 \approx -1.3225 - 2.3 + 2 = -1.6225 $.

Проверим на окружности: $ (1.15)^2 + (-1.62)^2 \approx 1.3225 + 2.6244 = 3.9469 $, что близко к $ 4 $.

Таким образом, система имеет две точки пересечения.

Ответ: Количество решений: 2. Приближенные решения: $ (0,2) $ и $ (1.15, -1.62) $.

б)

Система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y + 5 = 2x^2 - 4x \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение: $ x^2 + y^2 = 25 $.

Это уравнение окружности с центром в начале координат $ (0,0) $ и радиусом $ r = \sqrt{25} = 5 $. Окружность проходит через точки $ (5,0) $, $ (-5,0) $, $ (0,5) $, $ (0,-5) $.

Рассмотрим второе уравнение: $ y + 5 = 2x^2 - 4x $.

Выразим $ y $: $ y = 2x^2 - 4x - 5 $.

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $ x^2 $ положительный). Найдем координаты вершины параболы:

$ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1 $

$ y_v = 2(1)^2 - 4(1) - 5 = 2 - 4 - 5 = -7 $

Вершина параболы находится в точке $ (1, -7) $.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• При $ x=0 $: $ y = 2(0)^2 - 4(0) - 5 = -5 $. Точка $ (0,-5) $.

При графическом построении, мы видим, что парабола с вершиной $ (1,-7) $ (лежащей вне окружности) проходит через точку $ (0,-5) $, которая также лежит на окружности. Это одна точка пересечения.

Парабола симметрична относительно оси $ x=1 $.

• При $ x=2 $: $ y = 2(2)^2 - 4(2) - 5 = 8 - 8 - 5 = -5 $. Точка $ (2,-5) $. Эта точка не на окружности $ (2^2+(-5)^2 = 4+25=29 \ne 25) $.

Парабола, идя вверх от вершины, пересекает окружность. Поскольку она уже пересекла ее в $ (0,-5) $, и ее ветви направлены вверх, ожидается, что будет еще несколько пересечений.

Из более точного анализа (подстановкой одного уравнения в другое: $ x(4x^3 - 16x^2 - 3x + 40) = 0 $) получаем одно решение $ x=0 $, которое дает $ y=-5 $, то есть $ (0,-5) $. Кубическое уравнение $ 4x^3 - 16x^2 - 3x + 40 = 0 $ имеет три действительных корня.

Оценим эти корни:

1. Первый корень: между $ x=2 $ и $ x=3 $. Приближенно $ x \approx 2.1 $.
   Если $ x \approx 2.1 $, то $ y = 2(2.1)^2 - 4(2.1) - 5 = 2(4.41) - 8.4 - 5 = 8.82 - 8.4 - 5 = -4.58 $.
   Проверим на окружности: $ (2.1)^2 + (-4.58)^2 = 4.41 + 20.9764 = 25.3864 $, что близко к $ 25 $. Приближенное решение: $ (2.1, -4.6) $.
2. Второй корень: между $ x=-1 $ и $ x=-2 $. Приближенно $ x \approx -1.4 $.
   Если $ x \approx -1.4 $, то $ y = 2(-1.4)^2 - 4(-1.4) - 5 = 2(1.96) + 5.6 - 5 = 3.92 + 5.6 - 5 = 4.52 $.
   Проверим на окружности: $ (-1.4)^2 + (4.52)^2 = 1.96 + 20.4304 = 22.3904 $, что близко к $ 25 $. Приближенное решение: $ (-1.4, 4.5) $.
3. Третий корень: между $ x=3 $ и $ x=4 $. Приближенно $ x \approx 3.3 $.
   Если $ x \approx 3.3 $, то $ y = 2(3.3)^2 - 4(3.3) - 5 = 2(10.89) - 13.2 - 5 = 21.78 - 13.2 - 5 = 3.58 $.
   Проверим на окружности: $ (3.3)^2 + (3.58)^2 = 10.89 + 12.8164 = 23.7064 $, что близко к $ 25 $. Приближенное решение: $ (3.3, 3.6) $.

Таким образом, система имеет четыре точки пересечения.

Ответ: Количество решений: 4. Приближенные решения: $ (0,-5) $, $ (2.1, -4.6) $, $ (-1.4, 4.5) $, $ (3.3, 3.6) $.