Номер 456, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 456, страница 185.

456 Решите систему уравнений, воспользовавшись в качестве образца примером 3:

a) $\begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 10y^2 - 4x = x^2 - 8y \\ 3y - x = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + x = -2 \\ x^2 + 3y^2 = 9 - xy \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 - 5xy = 64 - 10y \\ 4y + x = 10 \end{cases}$

е) $\begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2y = x^2 - 4x \\ 4y = 3x - 9 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 6y = 30 + 12x \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = -2x$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x^2 + (-2x)^2 - 6(-2x) = 0$
$2x^2 + 4x^2 + 12x = 0$
$6x^2 + 12x = 0$
$6x(x + 2) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -2 \cdot 0 = 0$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 \cdot (-2) = 4$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(0, 0)$, $(-2, 4)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 10y^2 - 4x = x^2 - 8y \\ 3y - x = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 3y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$10y^2 - 4(3y) = (3y)^2 - 8y$
$10y^2 - 12y = 9y^2 - 8y$
$10y^2 - 9y^2 - 12y + 8y = 0$
$y^2 - 4y = 0$
$y(y - 4) = 0$
Корни этого уравнения: $y_1 = 0$ и $y_2 = 4$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 3 \cdot 0 = 0$.
Если $y_2 = 4$, то $x_2 = 3 \cdot 4 = 12$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(0, 0)$, $(12, 4)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 3$
Подставим во второе уравнение:
$(y + 3)^2 - (y + 3)y - 2y^2 = 7$
$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 + 3y) - 2y^2 = 7$
$y^2 + 6y + 9 - y^2 - 3y - 2y^2 - 7 = 0$
$-2y^2 + 3y + 2 = 0$
$2y^2 - 3y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3+5}{4} = 2$
$y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3-5}{4} = -0.5$
Найдем $x$:
При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 3 = 5$.
При $y_2 = -0.5$, $x_2 = -0.5 + 3 = 2.5$.
Ответ: $(5, 2)$, $(2.5, -0.5)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y + x = -2 \\ x^2 + 3y^2 = 9 - xy \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = -x - 2$
Подставим во второе уравнение:
$x^2 + 3(-x - 2)^2 = 9 - x(-x - 2)$
$x^2 + 3(x^2 + 4x + 4) = 9 + x^2 + 2x$
$x^2 + 3x^2 + 12x + 12 = 9 + x^2 + 2x$
$4x^2 + 12x + 12 - x^2 - 2x - 9 = 0$
$3x^2 + 10x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{6} = \frac{-10+8}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{6} = \frac{-10-8}{6} = -3$
Найдем $y$:
При $x_1 = -\frac{1}{3}$, $y_1 = -(-\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$.
Ответ: $(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3})$, $(-3, 1)$.

д) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 5xy = 64 - 10y \\ 4y + x = 10 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 10 - 4y$
Подставим в первое уравнение:
$(10 - 4y)^2 - 5y(10 - 4y) = 64 - 10y$
$100 - 80y + 16y^2 - 50y + 20y^2 = 64 - 10y$
$36y^2 - 130y + 100 = 64 - 10y$
$36y^2 - 120y + 36 = 0$
Разделим все уравнение на 12: $3y^2 - 10y + 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$y_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3$
$y_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Найдем $x$:
При $y_1 = 3$, $x_1 = 10 - 4 \cdot 3 = -2$.
При $y_2 = \frac{1}{3}$, $x_2 = 10 - 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{30-4}{3} = \frac{26}{3}$.
Ответ: $(-2, 3)$, $(\frac{26}{3}, \frac{1}{3})$.

е) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 1 - 2x$
Подставим во второе уравнение:
$x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7$
$x^2 + x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 7$
$3x^2 - 3x - 6 = 0$
Разделим на 3: $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета корни $x_1=2, x_2=-1$.
Найдем $y$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 1 - 2 \cdot 2 = -3$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = 1 - 2(-1) = 3$.
Ответ: $(2, -3)$, $(-1, 3)$.

ж) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2y = x^2 - 4x \\ 4y = 3x - 9 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$:
$y = \frac{3x - 9}{4}$
Подставим в первое уравнение:
$2\left(\frac{3x - 9}{4}\right) = x^2 - 4x$
$\frac{3x - 9}{2} = x^2 - 4x$
$3x - 9 = 2x^2 - 8x$
$2x^2 - 11x + 9 = 0$
Решим квадратное уравнение. $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$.
$x_1 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
$x_2 = \frac{11 - 7}{4} = 1$
Найдем $y$:
При $x_1 = \frac{9}{2}$, $y_1 = \frac{3 \cdot \frac{9}{2} - 9}{4} = \frac{\frac{27}{2} - \frac{18}{2}}{4} = \frac{9/2}{4} = \frac{9}{8}$.
При $x_2 = 1$, $y_2 = \frac{3 \cdot 1 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $(\frac{9}{2}, \frac{9}{8})$, $(1, -\frac{3}{2})$.

з) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 6y = 30 + 12x \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$. Разделим его на 6:
$y = 5 + 2x$
Подставим в первое уравнение:
$3x^2 + 2x = 3(5 + 2x)$
$3x^2 + 2x = 15 + 6x$
$3x^2 - 4x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196$.
$x_1 = \frac{4 + 14}{6} = 3$
$x_2 = \frac{4 - 14}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$
Найдем $y$:
При $x_1 = 3$, $y_1 = 5 + 2 \cdot 3 = 11$.
При $x_2 = -\frac{5}{3}$, $y_2 = 5 + 2(-\frac{5}{3}) = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $(3, 11)$, $(-\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$.