Номер 458, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 458, страница 186.

458 Решите способом подстановки систему уравнений:

a) $\begin{cases}y - x = 9 \\\frac{10}{y} - \frac{4}{x} = 3;\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\3x - y = 2;\end{cases}$

в) $\begin{cases}2x - y = -1 \\\frac{1}{x+2} + \frac{10}{y+2} = 1;\end{cases}$

г) $\begin{cases}x - 3y = 5 \\\frac{6}{x+1} - \frac{4}{y+3} = 3.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y - x = 9, \\ \frac{10}{y} - \frac{4}{x} = 3. \end{cases} $

1. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = x + 9$.

2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы. Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Так как $y = x+9$, то $x+9 \neq 0$, следовательно $x \neq -9$.

$\frac{10}{x+9} - \frac{4}{x} = 3$.

3. Решим полученное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+9)$:

$\frac{10x - 4(x+9)}{x(x+9)} = 3$.

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -9$, мы можем умножить обе части на знаменатель:

$10x - 4(x+9) = 3x(x+9)$

$10x - 4x - 36 = 3x^2 + 27x$

$6x - 36 = 3x^2 + 27x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 27x - 6x + 36 = 0$

$3x^2 + 21x + 36 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 7x + 12 = 0$.

4. Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение равно 12. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:

Если $x_1 = -3$, то $y_1 = -3 + 9 = 6$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 + 9 = 5$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-3, 6)$, $(-4, 5)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1, \\ 3x - y = 2. \end{cases} $

1. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 3x - 2$.

2. Подставим это выражение в первое уравнение. ОДЗ: $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Так как $y=3x-2$, то $3x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq \frac{2}{3}$.

$\frac{1}{x} + \frac{2}{3x-2} = 1$.

3. Решим полученное уравнение. Общий знаменатель $x(3x-2)$:

$\frac{3x-2 + 2x}{x(3x-2)} = 1$.

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq \frac{2}{3}$:

$5x - 2 = x(3x-2)$

$5x - 2 = 3x^2 - 2x$

$3x^2 - 7x + 2 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \frac{1}{3}$, то $y_1 = 3(\frac{1}{3}) - 2 = 1 - 2 = -1$.

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, -1)$, $(2, 4)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ \frac{1}{x+2} + \frac{10}{y+2} = 1. \end{cases} $

1. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x + 1$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение. ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $y+2 \neq 0$. Так как $y=2x+1$, то $(2x+1)+2 \neq 0 \implies 2x+3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$.

$\frac{1}{x+2} + \frac{10}{(2x+1)+2} = 1$

$\frac{1}{x+2} + \frac{10}{2x+3} = 1$.

3. Решим уравнение. Общий знаменатель $(x+2)(2x+3)$:

$\frac{2x+3 + 10(x+2)}{(x+2)(2x+3)} = 1$.

При условии, что $x \neq -2$ и $x \neq -\frac{3}{2}$:

$2x+3 + 10x + 20 = (x+2)(2x+3)$

$12x + 23 = 2x^2 + 3x + 4x + 6$

$12x + 23 = 2x^2 + 7x + 6$

$2x^2 - 5x - 17 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 25 + 136 = 161$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{161}}{4}$.

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{161}}{4}$, $x_2 = \frac{5 - \sqrt{161}}{4}$.

5. Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \frac{5 + \sqrt{161}}{4}$, то $y_1 = 2(\frac{5 + \sqrt{161}}{4}) + 1 = \frac{5 + \sqrt{161}}{2} + 1 = \frac{5 + \sqrt{161} + 2}{2} = \frac{7 + \sqrt{161}}{2}$.

Если $x_2 = \frac{5 - \sqrt{161}}{4}$, то $y_2 = 2(\frac{5 - \sqrt{161}}{4}) + 1 = \frac{5 - \sqrt{161}}{2} + 1 = \frac{5 - \sqrt{161} + 2}{2} = \frac{7 - \sqrt{161}}{2}$.

Ответ: $(\frac{5 + \sqrt{161}}{4}, \frac{7 + \sqrt{161}}{2})$, $(\frac{5 - \sqrt{161}}{4}, \frac{7 - \sqrt{161}}{2})$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ \frac{6}{x+1} - \frac{4}{y+3} = 3. \end{cases} $

1. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 3y + 5$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение. ОДЗ: $x+1 \neq 0$ и $y+3 \neq 0$. Так как $x=3y+5$, то $(3y+5)+1 \neq 0 \implies 3y+6 \neq 0 \implies y \neq -2$.

$\frac{6}{(3y+5)+1} - \frac{4}{y+3} = 3$

$\frac{6}{3y+6} - \frac{4}{y+3} = 3$

Упростим первую дробь, вынеся 3 за скобки в знаменателе:

$\frac{6}{3(y+2)} - \frac{4}{y+3} = 3$

$\frac{2}{y+2} - \frac{4}{y+3} = 3$.

3. Решим полученное уравнение. Общий знаменатель $(y+2)(y+3)$:

$\frac{2(y+3) - 4(y+2)}{(y+2)(y+3)} = 3$.

При условии, что $y \neq -2$ и $y \neq -3$:

$2y+6 - 4y-8 = 3(y+2)(y+3)$

$-2y-2 = 3(y^2 + 5y + 6)$

$-2y-2 = 3y^2 + 15y + 18$

$3y^2 + 17y + 20 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 - 240 = 49$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-17 \pm 7}{6}$.

$y_1 = \frac{-17-7}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

$y_2 = \frac{-17+7}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -4$, то $x_1 = 3(-4) + 5 = -12 + 5 = -7$.

Если $y_2 = -\frac{5}{3}$, то $x_2 = 3(-\frac{5}{3}) + 5 = -5 + 5 = 0$.

Ответ: $(-7, -4)$, $(0, -\frac{5}{3})$.