Номер 452, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 452, страница 185.

452 Постройте график уравнения:

а) $x^2 - y^2 = 0;$

б) $4x^2 = y^2;$

в) $xy = 0;$

г) $(x - y)(2x - y) = 0;$

д) $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0;$

е) $(x - 1)(y - 1) = 0.$

а) Уравнение $x^2 - y^2 = 0$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, уравнение распадается на два:

1. $x - y = 0$, что эквивалентно $y = x$. Это уравнение прямой, являющейся биссектрисой первого и третьего координатных углов.
2. $x + y = 0$, что эквивалентно $y = -x$. Это уравнение прямой, являющейся биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение двух прямых, пересекающихся в начале координат.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x$ и $y = -x$.

б) Перенесем все члены уравнения $4x^2 = y^2$ в одну часть: $4x^2 - y^2 = 0$. Это уравнение также является разностью квадратов: $(2x)^2 - y^2 = 0$. Разложим на множители: $(2x - y)(2x + y) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $2x - y = 0$, откуда $y = 2x$. Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 2.
2. $2x + y = 0$, откуда $y = -2x$. Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом -2.

График уравнения — это объединение двух прямых, пересекающихся в точке (0, 0).
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = 2x$ и $y = -2x$.

в) Уравнение $xy = 0$ выполняется, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Таким образом, мы имеем два случая:

1. $x = 0$. Это уравнение задает ось ординат (ось OY).
2. $y = 0$. Это уравнение задает ось абсцисс (ось OX).

График уравнения является объединением координатных осей.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых, совпадающих с осями координат: $x = 0$ (ось OY) и $y = 0$ (ось OX).

г) Уравнение $(x - y)(2x - y) = 0$ уже представлено в виде произведения двух множителей. Оно равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $x - y = 0$, откуда $y = x$.
2. $2x - y = 0$, откуда $y = 2x$.

Графиком является объединение двух прямых, проходящих через начало координат: $y=x$ и $y=2x$.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x$ и $y = 2x$.

д) В уравнении $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $x - y + 1 = 0$, откуда получаем $y = x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, пересекающая ось OY в точке (0, 1).
2. $x + y - 1 = 0$, откуда получаем $y = -x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом -1, также пересекающая ось OY в точке (0, 1).

График — это объединение двух прямых, пересекающихся в точке (0, 1).
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x + 1$ и $y = -x + 1$.

е) Уравнение $(x - 1)(y - 1) = 0$ выполняется, когда один из множителей равен нулю.

1. $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси OY и проходящую через точку (1, 0).
2. $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси OX и проходящую через точку (0, 1).

График представляет собой объединение двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в точке (1, 1).
Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых $x = 1$ и $y = 1$.