Номер 414, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 414, страница 169.

Решите уравнение, используя подходящую подстановку

(414—415).

414 a) $\frac{15}{x^2+x+1} = 2(x^2+x)+1;$

б) $\frac{1}{x^2-3x-1} + \frac{1}{x^2-3x-2} = \frac{5}{x^2-3x+2};$

в) $\left(1+\frac{1}{x}\right)^2 - 5\left(2+\frac{1}{x}\right) + 11 = 0.$

а)

Дано уравнение: $ \frac{15}{x^2 + x + 1} = 2(x^2 + x) + 1 $.

Заметим, что в обеих частях уравнения повторяется выражение $x^2 + x$. Сделаем подстановку. Пусть $t = x^2 + x$.

Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{15}{t + 1} = 2t + 1 $

Область допустимых значений для $t$ определяется условием $t + 1 \neq 0$, то есть $t \neq -1$. Также отметим, что знаменатель исходного уравнения $x^2 + x + 1$ всегда положителен, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Решим полученное уравнение относительно $t$:

$15 = (2t + 1)(t + 1)$

$15 = 2t^2 + 2t + t + 1$

$2t^2 + 3t + 1 - 15 = 0$

$2t^2 + 3t - 14 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

$t_1 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$

Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \neq -1$.

Теперь выполним обратную подстановку.

1) Если $t = 2$, то:

$x^2 + x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

2) Если $t = -\frac{7}{2}$, то:

$x^2 + x = -\frac{7}{2}$

$x^2 + x + \frac{7}{2} = 0$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2x^2 + 2x + 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 4 - 56 = -52$.

Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; -2$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{1}{x^2 - 3x - 1} + \frac{1}{x^2 - 3x - 2} = \frac{5}{x^2 - 3x + 2} $.

Заметим, что во всех знаменателях присутствует выражение $x^2 - 3x$. Сделаем подстановку. Пусть $t = x^2 - 3x$.

Уравнение примет вид:

$ \frac{1}{t - 1} + \frac{1}{t - 2} = \frac{5}{t + 2} $

Область допустимых значений для $t$: $t \neq 1$, $t \neq 2$, $t \neq -2$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{(t - 2) + (t - 1)}{(t - 1)(t - 2)} = \frac{5}{t + 2} $

$ \frac{2t - 3}{t^2 - 3t + 2} = \frac{5}{t + 2} $

Используем свойство пропорции:

$(2t - 3)(t + 2) = 5(t^2 - 3t + 2)$

$2t^2 + 4t - 3t - 6 = 5t^2 - 15t + 10$

$2t^2 + t - 6 = 5t^2 - 15t + 10$

$3t^2 - 16t + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64 = 8^2$.

$t_1 = \frac{16 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$t_2 = \frac{16 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Оба значения $t$ удовлетворяют ОДЗ.

Выполним обратную подстановку.

1) Если $t = 4$, то:

$x^2 - 3x = 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

2) Если $t = \frac{4}{3}$, то:

$x^2 - 3x = \frac{4}{3}$

$3x^2 - 9x = 4$

$3x^2 - 9x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 81 + 48 = 129$.

$x_{3,4} = \frac{9 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 3} = \frac{9 \pm \sqrt{129}}{6}$.

Ответ: $4; -1; \frac{9 + \sqrt{129}}{6}; \frac{9 - \sqrt{129}}{6}$.

в)

Дано уравнение: $ (1 + \frac{1}{x})^2 - 5(2 + \frac{1}{x}) + 11 = 0 $.

Сделаем подстановку. Пусть $y = 1 + \frac{1}{x}$.

Выразим вторую скобку через $y$. Из подстановки имеем $\frac{1}{x} = y - 1$. Тогда $2 + \frac{1}{x} = 2 + (y-1) = y + 1$.

Подставим все в исходное уравнение:

$y^2 - 5(y+1) + 11 = 0$

$y^2 - 5y - 5 + 11 = 0$

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Теперь выполним обратную подстановку.

1) Если $y = 2$, то:

$1 + \frac{1}{x} = 2$

$\frac{1}{x} = 1$

$x = 1$

2) Если $y = 3$, то:

$1 + \frac{1}{x} = 3$

$\frac{1}{x} = 2$

$x = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $1; \frac{1}{2}$.