Номер 408, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 408, страница 168.

Найдите корни уравнения (408–409).

408 а) $\frac{x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3)} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x^3 - 2x^2 + 1} = 0;$

в) $\frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0;$

г) $\frac{2x^2 - 2}{(x^2 - 2x + 2)^2} = 0.$

а)

Дано рациональное уравнение: $ \frac{x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3)} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем корни числителя, решив уравнение: $ x^2 - 4 = 0 $
$ x^2 = 4 $
Отсюда получаем два корня: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -2 $.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $ (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3) \ne 0 $
Это условие выполняется, если оба множителя не равны нулю:

• $ x^2 - 3x + 2 \ne 0 $. Решив уравнение $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ (по теореме Виета, сумма корней 3, произведение 2), находим корни $ x = 1 $ и $ x = 2 $.
• $ x^2 - 2x - 3 \ne 0 $. Решив уравнение $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ (по теореме Виета, сумма корней 2, произведение -3), находим корни $ x = 3 $ и $ x = -1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 1 $, $ x \ne 2 $, $ x \ne 3 $, $ x \ne -1 $.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ. Корень $ x = 2 $ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $ x = -2 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -2 $.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 7x + 6}{x^3 - 2x^2 + 1} = 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ x^2 - 7x + 6 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 6 $.

2. Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ x^3 - 2x^2 + 1 \ne 0 $
Заметим, что $ x = 1 $ является корнем многочлена в знаменателе, так как $ 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 0 $. Разложим многочлен на множители: $ x^3 - x^2 - x^2 + 1 = x^2(x-1) - (x^2-1) = x^2(x-1) - (x-1)(x+1) = (x-1)(x^2 - x - 1) $. Знаменатель равен нулю при $ x - 1 = 0 $ (то есть $ x = 1 $) и при $ x^2 - x - 1 = 0 $. Корни второго уравнения: $ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $. Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 1 $ и $ x \ne \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $.

3. Сравним корни числителя ($1$ и $6$) с ОДЗ. Корень $ x = 1 $ не входит в ОДЗ. Корень $ x = 6 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 6 $.

в)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ x^2 + 2x + 1 = 0 $
Это формула полного квадрата: $ (x + 1)^2 = 0 $. Единственный корень: $ x = -1 $.

2. Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ (x^2 + 1)(x^2 - 1) \ne 0 $

• Множитель $ x^2 + 1 $ всегда больше нуля при любом действительном $ x $.
• Множитель $ x^2 - 1 \ne 0 $, что означает $ x^2 \ne 1 $, то есть $ x \ne 1 $ и $ x \ne -1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 1 $ и $ x \ne -1 $.

3. Корень числителя $ x = -1 $ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

г)

Дано уравнение: $ \frac{2x^2 - 2}{(x^2 - 2x + 2)^2} = 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ 2x^2 - 2 = 0 $
$ 2(x^2 - 1) = 0 $
$ x^2 = 1 $
Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -1 $.

2. Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ (x^2 - 2x + 2)^2 \ne 0 $, что равносильно $ x^2 - 2x + 2 \ne 0 $. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ x^2 - 2x + 2 $: $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 $. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение $ x^2 - 2x + 2 = 0 $ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель никогда не равен нулю.

3. Так как знаменатель не обращается в ноль ни при каких действительных значениях $ x $, область допустимых значений — все действительные числа. Следовательно, оба корня числителя являются решениями уравнения.

Ответ: $ 1; -1 $.