Номер 407, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 407, страница 168.

407 a) $\frac{3}{x-2} - \frac{6}{x+4} = \frac{3}{x}$;

б) $\frac{4}{x-2} = \frac{7}{x-3} + \frac{2}{15}$;

В) $\frac{3}{4-x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3-x}$;

Г) $\frac{1}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{x+1}{x+2}$.

а) $ \frac{3}{x-2} - \frac{6}{x+4} = \frac{3}{x} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$

$x \neq 0$

Общий знаменатель для дробей: $x(x-2)(x+4)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x$ удовлетворяет ОДЗ.

$3x(x+4) - 6x(x-2) = 3(x-2)(x+4)$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 12x - 6x^2 + 12x = 3(x^2 + 4x - 2x - 8)$

Приведем подобные слагаемые в левой части и в скобках в правой части:

$-3x^2 + 24x = 3(x^2 + 2x - 8)$

$-3x^2 + 24x = 3x^2 + 6x - 24$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 3x^2 + 6x - 24x - 24 = 0$

$6x^2 - 18x - 24 = 0$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Подбором находим корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq 2, -4, 0$ и $-1 \neq 2, -4, 0$).

Ответ: -1; 4.

б) $ \frac{4}{x-2} = \frac{7}{x-3} + \frac{2}{15} $

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Перенесем дроби, содержащие переменную, в левую часть:

$\frac{4}{x-2} - \frac{7}{x-3} = \frac{2}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x-3)$:

$\frac{4(x-3) - 7(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{15}$

$\frac{4x - 12 - 7x + 14}{x^2 - 3x - 2x + 6} = \frac{2}{15}$

$\frac{-3x + 2}{x^2 - 5x + 6} = \frac{2}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$15(-3x + 2) = 2(x^2 - 5x + 6)$

$-45x + 30 = 2x^2 - 10x + 12$

Перенесем все члены в правую часть:

$2x^2 - 10x + 45x + 12 - 30 = 0$

$2x^2 + 35x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4(2)(-18) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 \pm 37}{4}$

$x_1 = \frac{-35 + 37}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{-35 - 37}{4} = \frac{-72}{4} = -18$

Оба корня ($0.5$ и $-18$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq 3$).

Ответ: -18; 0.5.

в) $ \frac{3}{4-x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3-x} $

ОДЗ: $4-x \neq 0 \implies x \neq 4$; $x \neq 0$; $3-x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Для удобства вычислений изменим знаки в знаменателях $4-x$ и $3-x$:

$\frac{3}{-(x-4)} - \frac{5}{x} = \frac{7}{-(x-3)}$

$-\frac{3}{x-4} - \frac{5}{x} = -\frac{7}{x-3}$

Умножим все уравнение на -1:

$\frac{3}{x-4} + \frac{5}{x} = \frac{7}{x-3}$

Общий знаменатель: $x(x-4)(x-3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3x(x-3) + 5(x-4)(x-3) = 7x(x-4)$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 9x + 5(x^2 - 3x - 4x + 12) = 7x^2 - 28x$

$3x^2 - 9x + 5(x^2 - 7x + 12) = 7x^2 - 28x$

$3x^2 - 9x + 5x^2 - 35x + 60 = 7x^2 - 28x$

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 - 44x + 60 = 7x^2 - 28x$

Перенесем все члены в левую часть:

$8x^2 - 7x^2 - 44x + 28x + 60 = 0$

$x^2 - 16x + 60 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 16, произведение равно 60. Корни:

$x_1 = 10$, $x_2 = 6$.

Оба корня ($10$ и $6$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 4, 0, 3$).

Ответ: 6; 10.

г) $ \frac{1}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{x+1}{x+2} $

ОДЗ: $x \neq 0$; $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$; $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Сначала приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

$\frac{1(x-1) - 2x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}$

$\frac{x-1-2x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}$

$\frac{-x-1}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}$

Вынесем минус за скобку в числителе левой дроби:

$\frac{-(x+1)}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}$

Перенесем все в одну сторону:

$\frac{x+1}{x+2} + \frac{x+1}{x(x-1)} = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1) \left( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-1)} \right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x+1 = 0 \implies x = -1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-1)} = 0$.

$\frac{x(x-1) + (x+2)}{(x+2)x(x-1)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель не равен нулю согласно ОДЗ.

$x^2 - x + x + 2 = 0$

$x^2 + 2 = 0$

$x^2 = -2$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: -1.