Страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 В одной системе координат изображены графики четырёх функций (они обозначены буквами). Для каждого графика укажите соответствующую ему формулу.

1) $y = \frac{1}{2}x^2$

2) $y = -\frac{1}{3}x^2$

3) $y = 3x^2$

4) $y = -2x^2$

Все представленные функции имеют вид $y = ax^2$. Графиком такой функции является парабола с вершиной в начале координат. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$, а "ширина" параболы — от его модуля $|a|$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Чем больше $|a|$, тем парабола "уже" (сильнее прижата к оси $Oy$).
• Чем меньше $|a|$, тем парабола "шире" (сильнее отдалена от оси $Oy$).

Рассмотрим каждый график по отдельности.

А. Ветви этой параболы направлены вверх, значит, коэффициент $a > 0$. Следовательно, этому графику может соответствовать либо формула 1) $y = \frac{1}{2}x^2$, либо 3) $y = 3x^2$. График А является более "широкой" параболой по сравнению с графиком Б. Это соответствует меньшему значению коэффициента $a$. Сравнивая коэффициенты, видим, что $\frac{1}{2} < 3$. Таким образом, графику А соответствует формула 1.
Ответ: 1

Б. Ветви этой параболы также направлены вверх, значит, $a > 0$. Снова выбираем из формул 1) $y = \frac{1}{2}x^2$ и 3) $y = 3x^2$. График Б является более "узкой" параболой по сравнению с графиком А. Это соответствует большему значению коэффициента $a$. Так как $3 > \frac{1}{2}$, графику Б соответствует формула 3.
Ответ: 3

В. Ветви этой параболы направлены вниз, значит, коэффициент $a < 0$. Следовательно, этому графику может соответствовать либо формула 2) $y = -\frac{1}{3}x^2$, либо 4) $y = -2x^2$. График В является более "широкой" параболой по сравнению с графиком Г. Это соответствует меньшему по модулю значению коэффициента $a$. Сравним модули коэффициентов: $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$ и $|-2| = 2$. Так как $\frac{1}{3} < 2$, графику В соответствует формула 2.
Ответ: 2

Г. Ветви этой параболы направлены вниз, значит, $a < 0$. Выбираем из формул 2) $y = -\frac{1}{3}x^2$ и 4) $y = -2x^2$. График Г является более "узкой" параболой по сравнению с графиком В. Это соответствует большему по модулю значению коэффициента $a$. Так как $|-2| > |-\frac{1}{3}|$, графику Г соответствует формула 4.
Ответ: 4

6 Задайте формулой функцию, график которой получен параллельным переносом графика функции $y = 2x^2$ на 3 единицы вниз вдоль оси $y$.

Чтобы найти формулу функции, график которой получен параллельным переносом графика другой функции, нужно знать правила преобразования графиков.

Общее правило для параллельного переноса графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат (оси $y$) выглядит следующим образом:

• Чтобы сдвинуть график функции на $c$ единиц вверх, нужно к функции прибавить $c$. Новая функция будет $y = f(x) + c$.
• Чтобы сдвинуть график функции на $c$ единиц вниз, нужно из функции вычесть $c$. Новая функция будет $y = f(x) - c$.

В данной задаче исходная функция — это парабола, заданная формулой $y = 2x^2$.

Согласно условию, график этой функции необходимо перенести параллельно на 3 единицы вниз вдоль оси $y$. Это означает, что из исходной функции нужно вычесть 3.

Выполним это преобразование:
Исходная функция: $f(x) = 2x^2$.
Величина сдвига вниз: $c = 3$.
Новая функция: $y = f(x) - c = 2x^2 - 3$.

Таким образом, искомая функция задается формулой $y = 2x^2 - 3$.

Ответ: $y = 2x^2 - 3$

7 На рисунке изображены графики функций вида $y = ax^2 + c$. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов $a$ и $c$.

А) Б) В) Г) 1) $a > 0, c > 0$

2) $a < 0, c > 0$

3) $a > 0, c < 0$

4) $a < 0, c < 0$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать, как коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^2 + c$ влияют на вид ее графика (параболы).

Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы:

• Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Коэффициент $c$ определяет положение вершины параболы на оси $y$. Вершина параболы вида $y = ax^2 + c$ находится в точке $(0, c)$. Это также точка пересечения графика с осью $y$.

• Если $c > 0$, то вершина параболы находится выше оси $x$.
• Если $c < 0$, то вершина параболы находится ниже оси $x$.
• Если $c = 0$, то вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Теперь установим соответствие для каждого случая.

А) На графике изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, коэффициент $a$ должен быть положительным: $a > 0$. Вершина параболы находится ниже оси $x$, значит, ее ордината $c$ отрицательна: $c < 0$. Таким образом, для этого графика выполняются условия $a > 0$ и $c < 0$. Это соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

Б) На этом графике ветви параболы направлены вниз, что означает, что коэффициент $a$ отрицательный: $a < 0$. Вершина параболы расположена ниже оси $x$, следовательно, коэффициент $c$ также отрицательный: $c < 0$. Этим условиям ($a < 0$ и $c < 0$) соответствует вариант под номером 4.

Ответ: 4

В) Ветви параболы на данном графике направлены вверх, поэтому $a > 0$. Вершина параболы находится выше оси $x$, что говорит о том, что $c > 0$. Условия $a > 0$ и $c > 0$ соответствуют варианту под номером 1.

Ответ: 1

Г) Здесь ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Вершина параболы расположена выше оси $x$, следовательно $c > 0$. Условия $a < 0$ и $c > 0$ соответствуют варианту под номером 2.

Ответ: 2

8 Какая формула задаёт функцию, график которой получен параллельным переносом графика функции $y = 2x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси $x$?

1) $y = 2x^2 - 3$
2) $y = 2x^2 + 3$
3) $y = 2(x - 3)^2$
4) $y = 2(x + 3)^2$

Для решения этой задачи необходимо применить правило параллельного переноса (сдвига) графика функции вдоль оси абсцисс (оси $x$).

Общее правило гласит: чтобы сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $a$ единиц влево, необходимо в формуле функции заменить аргумент $x$ на выражение $(x+a)$. Новая функция будет иметь вид $y = f(x+a)$. Для сдвига на $a$ единиц вправо, $x$ заменяется на $(x-a)$.

В нашем случае исходная функция — это $y = 2x^2$. Обозначим ее как $f(x) = 2x^2$. Согласно условию, график этой функции нужно перенести на 3 единицы влево.

Применяя правило сдвига влево ($a=3$), мы должны заменить $x$ в исходной формуле на выражение $(x+3)$. В результате получаем новую функцию:
$y = 2(x+3)^2$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов, чтобы определить, какой из них соответствует полученной формуле.

1) $y = 2x^2 - 3$

Эта формула описывает сдвиг исходного графика $y=2x^2$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($y$).

2) $y = 2x^2 + 3$

Эта формула описывает сдвиг исходного графика $y=2x^2$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($y$).

3) $y = 2(x - 3)^2$

Эта формула описывает сдвиг исходного графика $y=2x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($x$).

4) $y = 2(x + 3)^2$

Эта формула описывает сдвиг исходного графика $y=2x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс ($x$), что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 4

9 Укажите координаты вершины параболы

$y = -3(x + 5)^2 - 1.$

Уравнение параболы $y = -3(x + 5)^2 - 1$ задано в вершинной форме, общий вид которой $y = a(x - h)^2 + k$. В этой форме $(h, k)$ являются координатами вершины параболы.

Чтобы найти координаты вершины, сравним данное уравнение с общей формой:

Данное уравнение: $y = -3(x + 5)^2 - 1$
Общая форма: $y = a(x - h)^2 + k$

Из сравнения этих двух уравнений мы можем определить значения $h$ и $k$.

1. Найдём абсциссу вершины $h$. В общем виде в скобках стоит $(x - h)$, а в нашем уравнении — $(x + 5)$. Мы можем переписать $(x+5)$ как $(x - (-5))$. Таким образом, $h = -5$.

2. Найдём ординату вершины $k$. В общем виде к скобке прибавляется $k$, а в нашем уравнении вычитается 1, что эквивалентно прибавлению $-1$. Таким образом, $k = -1$.

Следовательно, координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(-5, -1)$.

Ответ: $(-5; -1)$

$y = -3(x + 5)^2 - 1$

1) $y = 2x^2 - 7x + 3$

2) $y = x^2 + 2x - 3$

3) $y = x^2 - 4x + 3$

4) $y = 2x^2 - 5x - 3$

9

Уравнение параболы, вершина которой находится в точке $(h; k)$, имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$. Нам дано уравнение $y = -3(x + 5)^2 - 1$.

Чтобы привести данное уравнение к стандартному вершинному виду, мы можем переписать его следующим образом: $y = -3(x - (-5))^2 + (-1)$.

Теперь, сравнивая это уравнение с общей формулой $y = a(x - h)^2 + k$, мы можем легко определить координаты вершины:

• $h = -5$
• $k = -1$

Следовательно, координаты вершины параболы: $(-5; -1)$.

Ответ: $(-5; -1)$

10

Чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику, проанализируем ключевые точки на изображенной параболе и проверим, удовлетворяют ли им предложенные уравнения.

1. Проверка по точке пересечения с осью OY. Из графика видно, что парабола пересекает ось ординат (OY) в точке $(0; -3)$. Это означает, что при $x=0$ значение функции должно быть $y=-3$. Проверим это для каждого из вариантов:

• 1) $y = 2x^2 - 7x + 3 \implies y(0) = 2(0)^2 - 7(0) + 3 = 3$. Не подходит.
• 2) $y = x^2 + 2x - 3 \implies y(0) = (0)^2 + 2(0) - 3 = -3$. Подходит.
• 3) $y = x^2 - 4x + 3 \implies y(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3$. Не подходит.
• 4) $y = 2x^2 - 5x - 3 \implies y(0) = 2(0)^2 - 5(0) - 3 = -3$. Подходит.

После первой проверки у нас остались варианты 2 и 4.

2. Проверка по точкам пересечения с осью OX. График пересекает ось абсцисс (OX) в точках $x=1$ и $x=-3$. Это корни уравнения, то есть при этих значениях $x$ функция должна быть равна нулю ($y=0$). Проверим оставшиеся варианты, подставив, например, $x=1$.

• 2) $y = x^2 + 2x - 3 \implies y(1) = 1^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Подходит.
• 4) $y = 2x^2 - 5x - 3 \implies y(1) = 2(1)^2 - 5(1) - 3 = 2 - 5 - 3 = -6$. Не подходит.

Таким образом, единственная функция, график которой проходит через все указанные точки, это $y = x^2 + 2x - 3$.

3. Дополнительная проверка по вершине параболы. Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(-1; -4)$. Найдем координаты вершины для функции $y = x^2 + 2x - 3$ по формуле $x_v = -b/(2a)$. $x_v = -2 / (2 \cdot 1) = -1$. $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Координаты вершины $(-1; -4)$ совпали с графиком, что подтверждает правильность выбора.

Ответ: 2