Страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

331 Постройте график функции и определите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения:

а) $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 2 \\ x^2 - 1, & \text{если } |x| \le 2 \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 4 - 2x, & \text{если } x > 1 \\ x^2 + 1, & \text{если } |x| \le 1 \\ 4 + 2x, & \text{если } x < -1. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 2 \\ x^2 - 1, & \text{если } |x| \le 2 \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $(-\infty, -2)$ график функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Так как $x < 0$, то $y > 0$ на всем этом промежутке. Найдем значение на границе: при $x \to -2^-$, $y \to -\frac{6}{-2} = 3$. Точка $(-2, 3)$ будет выколотой на этой части графика.
2. На промежутке $[-2, 2]$ (что эквивалентно $|x| \le 2$) график совпадает с графиком функции $y = x^2 - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -1)$. Найдем значения на границах: при $x = -2$, $y = (-2)^2 - 1 = 3$. Точка $(-2, 3)$ принадлежит графику. при $x = 2$, $y = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику. Таким образом, в точках $x=-2$ и $x=2$ график непрерывен. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$, то есть $x^2-1=0$, откуда $x=1$ и $x=-1$.
3. На промежутке $(2, \infty)$ график функции совпадает с графиком функции $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Так как $x > 0$, то $y > 0$ на всем этом промежутке. Найдем значение на границе: при $x \to 2^+$, $y \to \frac{6}{2} = 3$. Эта точка совпадает с конечной точкой параболы, подтверждая непрерывность.

Теперь определим промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

Положительные значения ($y > 0$):

• На промежутке $x < -2$, функция $y = -\frac{6}{x}$ всегда положительна.
• На промежутке $x > 2$, функция $y = \frac{6}{x}$ всегда положительна.
• На промежутке $[-2, 2]$, решаем неравенство $x^2 - 1 > 0 \implies (x - 1)(x + 1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Пересекая с областью определения $[-2, 2]$, получаем $x \in [-2, -1) \cup (1, 2]$.

Объединяя все найденные промежутки, получаем, что $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup [-2, -1) \cup (1, 2] \cup (2, \infty)$. Так как функция непрерывна в точках $x=-2$ и $x=2$, мы можем объединить эти интервалы. Итого, функция положительна при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Отрицательные значения ($y < 0$):

• На промежутках $x < -2$ и $x > 2$ функция положительна.
• На промежутке $[-2, 2]$, решаем неравенство $x^2 - 1 < 0 \implies (x - 1)(x + 1) < 0$. Решением является $x \in (-1, 1)$. Этот промежуток полностью входит в область определения $[-2, 2]$.

Следовательно, функция принимает отрицательные значения только на промежутке $x \in (-1, 1)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$; отрицательные значения при $x \in (-1, 1)$.

б)

Данная функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} 4 - 2x, & \text{если } x > 1 \\ x^2 + 1, & \text{если } |x| \le 1 \\ 4 + 2x, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $(-\infty, -1)$ график функции совпадает с графиком функции $y = 4 + 2x$. Это часть прямой. Найдём значение на границе: при $x \to -1^-$, $y \to 4 + 2(-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$ будет выколотой. Прямая пересекает ось Ox в точке, где $y=0$: $4+2x=0 \implies x=-2$.
2. На промежутке $[-1, 1]$ (что эквивалентно $|x| \le 1$) график совпадает с графиком функции $y = x^2 + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 1)$. Найдём значения на границах: при $x = -1$, $y = (-1)^2 + 1 = 2$. Точка $(-1, 2)$ принадлежит графику. при $x = 1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$, значит на этом промежутке функция всегда положительна. В точках $x=-1$ и $x=1$ график непрерывен.
3. На промежутке $(1, \infty)$ график функции совпадает с графиком функции $y = 4 - 2x$. Это часть прямой. Найдём значение на границе: при $x \to 1^+$, $y \to 4 - 2(1) = 2$. Эта точка совпадает с конечной точкой параболы. Прямая пересекает ось Ox в точке, где $y=0$: $4-2x=0 \implies x=2$.

Теперь определим промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

Положительные значения ($y > 0$):

• На промежутке $x < -1$, решаем неравенство $4 + 2x > 0 \implies 2x > -4 \implies x > -2$. Учитывая условие $x < -1$, получаем $x \in (-2, -1)$.
• На промежутке $[-1, 1]$, функция $y = x^2 + 1$ всегда положительна.
• На промежутке $x > 1$, решаем неравенство $4 - 2x > 0 \implies 4 > 2x \implies x < 2$. Учитывая условие $x > 1$, получаем $x \in (1, 2)$.

Объединяя все найденные промежутки $x \in (-2, -1) \cup [-1, 1] \cup (1, 2)$ и учитывая непрерывность функции, получаем, что $y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.

Отрицательные значения ($y < 0$):

• На промежутке $x < -1$, решаем неравенство $4 + 2x < 0 \implies 2x < -4 \implies x < -2$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2)$.
• На промежутке $[-1, 1]$ функция всегда положительна.
• На промежутке $x > 1$, решаем неравенство $4 - 2x < 0 \implies 4 < 2x \implies x > 2$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (2, \infty)$.

Объединяя результаты, получаем, что функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-2, 2)$; отрицательные значения при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

332 Постройте график функции и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с графиком три общие точки; две общие точки; одну общую точку:

а) $y=\begin{cases} 4 - x^2, \text{ если } x \le 2 \\ x - 2, \text{ если } x > 2; \end{cases}$

б) $y=\begin{cases} x, \text{ если } x \le -1 \\ x^2 - 2, \text{ если } x > -1. \end{cases}$

а)

Заданная функция является кусочной: $y = \begin{cases} 4 - x^2, & \text{если } x \le 2 \\ x - 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

Сначала построим график данной функции. Он состоит из двух частей.
Первая часть — это график функции $y = 4 - x^2$ на промежутке $(-\infty, 2]$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, обе из которых входят в указанный промежуток. В граничной точке $x=2$ значение функции равно $y=4-2^2=0$.
Вторая часть — это график функции $y = x - 2$ на промежутке $(2, +\infty)$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ (не включая саму точку) и идущий вправо вверх. Например, при $x=4$ получаем $y=2$.

Поскольку значение обеих частей функции в точке $x=2$ равно 0, график является непрерывной линией. Он состоит из части параболы с вершиной $(0, 4)$ до точки $(2, 0)$ и луча, выходящего из $(2, 0)$.

Теперь определим количество общих точек графика с горизонтальной прямой $y=a$ в зависимости от параметра $a$.
Прямая $y=a$ имеет три общие точки, когда пересекает обе ветви параболы и луч. Это возможно, если прямая находится между вершиной параболы $(y=4)$ и точкой "стыка" графиков $(y=0)$. То есть при $0 < a < 4$.
Прямая $y=a$ имеет две общие точки, когда проходит через точки пересечения с осью Ox. Это происходит при $a=0$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
Прямая $y=a$ имеет одну общую точку в следующих случаях: когда она проходит через вершину параболы ($a=4$); когда она находится выше вершины ($a>4$, пересечение только с лучом); и когда она находится ниже оси Ox ($a<0$, пересечение только с левой ветвью параболы). Объединяя эти случаи, получаем $a < 0$ или $a \ge 4$.

Ответ: три общие точки при $a \in (0, 4)$; две общие точки при $a=0$; одна общая точка при $a \in (-\infty, 0) \cup [4, +\infty)$.

б)

Заданная функция является кусочной: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \le -1 \\ x^2 - 2, & \text{если } x > -1 \end{cases}$.

Сначала построим график данной функции. Он состоит из двух частей.
Первая часть — это график функции $y = x$ на промежутке $(-\infty, -1]$. Это луч, который является частью биссектрисы I и III координатных четвертей и заканчивается в точке $(-1, -1)$ (включительно).
Вторая часть — это график функции $y = x^2 - 2$ на промежутке $(-1, +\infty)$. Это часть параболы с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$, которая принадлежит данному промежутку. График начинается в точке $(-1, -1)$ (не включая саму точку).

Поскольку значение обеих частей функции в точке $x=-1$ равно -1, график является непрерывной линией. Он состоит из луча, доходящего до $(-1, -1)$, и части параболы, которая из этой точки опускается до минимума в $(0, -2)$ и затем поднимается.

Теперь определим количество общих точек графика с горизонтальной прямой $y=a$ в зависимости от параметра $a$.
Прямая $y=a$ имеет три общие точки, когда она пересекает луч $y=x$ и обе части параболы (справа и слева от её вершины). Это происходит, когда прямая находится между уровнем "стыка" $y=-1$ и уровнем вершины параболы $y=-2$. То есть при $-2 < a < -1$.
Прямая $y=a$ имеет две общие точки в двух случаях: при $a=-2$ (точки пересечения $(-2, -2)$ и $(0, -2)$) и при $a=-1$ (точки пересечения $(-1, -1)$ и $(1, -1)$).
Прямая $y=a$ имеет одну общую точку, когда она находится выше точки "стыка" ($a > -1$, пересечение только с правой частью параболы) и когда она находится ниже вершины параболы ($a < -2$, пересечение только с лучом).

Ответ: три общие точки при $a \in (-2, -1)$; две общие точки при $a=-2$ и $a=-1$; одна общая точка при $a \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$.

333 a) Найдите значение коэффициента c, при котором график функции $y = \frac{1}{3}x^2 + c$ проходит через точку A(-6; 10). Определите, принимает ли эта функция значение, равное 20; -20.

б) Известно, что вершина параболы находится в точке (0; 4) и она пересекает ось x в точке (-4; 0). Запишите уравнение этой параболы. Определите координаты точек, в которых она пересекает прямую $y = -21$.

а) Чтобы найти значение коэффициента $c$ для функции $y = \frac{1}{3}x^2 + c$, подставим в уравнение координаты точки A(-6; 10), через которую проходит ее график:
$10 = \frac{1}{3}(-6)^2 + c$
$10 = \frac{1}{3} \cdot 36 + c$
$10 = 12 + c$
$c = 10 - 12 = -2$
Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = \frac{1}{3}x^2 - 2$.

Теперь определим, принимает ли эта функция значения, равные 20 и -20. Для этого проверим, существуют ли действительные значения $x$ для каждого из этих случаев.

1. Проверим, может ли $y$ быть равным 20:
$\frac{1}{3}x^2 - 2 = 20$
$\frac{1}{3}x^2 = 22$
$x^2 = 66$
$x = \pm\sqrt{66}$
Так как уравнение имеет действительные корни, функция принимает значение 20.

2. Проверим, может ли $y$ быть равным -20:
$\frac{1}{3}x^2 - 2 = -20$
$\frac{1}{3}x^2 = -18$
$x^2 = -54$
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, функция не принимает значение -20.
Ответ: $c = -2$; функция принимает значение 20, но не принимает значение -20.

б) Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ имеет вид $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.
По условию, вершина параболы находится в точке (0; 4). Подставляем эти значения в уравнение:
$y = a(x - 0)^2 + 4$
$y = ax^2 + 4$
Известно, что парабола пересекает ось $x$ в точке (-4; 0). Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:
$0 = a(-4)^2 + 4$
$0 = 16a + 4$
$16a = -4$
$a = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$
Следовательно, уравнение этой параболы: $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$.

Теперь определим координаты точек, в которых эта парабола пересекает прямую $y = -21$. Для этого приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-\frac{1}{4}x^2 + 4 = -21$
$-\frac{1}{4}x^2 = -21 - 4$
$-\frac{1}{4}x^2 = -25$
Умножим обе части уравнения на -4:
$x^2 = 100$
$x = \pm\sqrt{100}$
$x_1 = 10$, $x_2 = -10$
Координата $y$ в точках пересечения равна -21. Таким образом, получаем две точки пересечения: (10; -21) и (-10; -21).
Ответ: уравнение параболы $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$; координаты точек пересечения (10; -21) и (-10; -21).

334 Решите неравенство:

a) $ \frac{x^2}{2} \ge \frac{4-3x}{5} $

б) $ \frac{7x-8}{2} \le \frac{3x^2}{4} $

а) $\frac{x^2}{2} \ge \frac{4-3x}{5}$

Для решения неравенства избавимся от знаменателей, умножив обе части на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 10.

$10 \cdot \frac{x^2}{2} \ge 10 \cdot \frac{4-3x}{5}$

$5x^2 \ge 2(4-3x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство стандартного вида:

$5x^2 \ge 8 - 6x$

$5x^2 + 6x - 8 \ge 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 6x - 8 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 - 14}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 + 14}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Мы получили квадратное неравенство, левая часть которого представляет собой параболу $y = 5x^2 + 6x - 8$ с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен: $5 > 0$). Корни $x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{4}{5}$ являются точками пересечения параболы с осью Ox.

Неравенство $5x^2 + 6x - 8 \ge 0$ выполняется там, где парабола находится на оси Ox или выше неё. Это происходит на интервалах до меньшего корня и после большего корня.

Таким образом, решение неравенства есть объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{4}{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{4}{5}, +\infty)$.

б) $\frac{7x-8}{2} \le \frac{3x^2}{4}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 4, чтобы избавиться от дробей.

$4 \cdot \frac{7x-8}{2} \le 4 \cdot \frac{3x^2}{4}$

$2(7x-8) \le 3x^2$

Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду $ax^2+bx+c \ge 0$.

$14x - 16 \le 3x^2$

$0 \le 3x^2 - 14x + 16$

Перепишем в более привычном виде:

$3x^2 - 14x + 16 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 14x + 16 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 14x + 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x_1=2$ и $x_2=\frac{8}{3}$.

Неравенство $3x^2 - 14x + 16 \ge 0$ будет верным для тех значений $x$, при которых парабола лежит на оси Ox или выше неё.

Это соответствует промежуткам $x \in (-\infty, 2]$ и $x \in [\frac{8}{3}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.

335 Найдите целые решения неравенства:

а) $\frac{2x^2}{3} < \frac{2x+3}{4};$

б) $\frac{4x+2}{3} > \frac{5x^2}{6};$

в) $(x + 2\sqrt{3})(x + 3\sqrt{2}) < 0;$

г) $(x + 1 - \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{6}) \le 0.$

а)

Исходное неравенство: $\frac{2x^2}{3} < \frac{2x+3}{4}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{2x^2}{3} < 12 \cdot \frac{2x+3}{4}$

$4 \cdot 2x^2 < 3(2x+3)$

$8x^2 < 6x + 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$8x^2 - 6x - 9 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8x^2 - 6x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 18}{16}$

$x_1 = \frac{6 - 18}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0.75$

$x_2 = \frac{6 + 18}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$

Так как коэффициент при $x^2$ (равный 8) положителен, ветви параболы $y = 8x^2 - 6x - 9$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $8x^2 - 6x - 9 < 0$ выполняется между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-\frac{3}{4}; \frac{3}{2})$, или $(-0.75; 1.5)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 0, 1.

Ответ: 0, 1.

б)

Исходное неравенство: $\frac{4x+2}{3} > \frac{5x^2}{6}$.

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6:

$6 \cdot \frac{4x+2}{3} > 6 \cdot \frac{5x^2}{6}$

$2(4x+2) > 5x^2$

$8x+4 > 5x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$5x^2 - 8x - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 8x - 4 = 0$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 = 12^2$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm 12}{2 \cdot 5} = \frac{8 \pm 12}{10}$

$x_1 = \frac{8 - 12}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} = -0.4$

$x_2 = \frac{8 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Ветви параболы $y = 5x^2 - 8x - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Решением является интервал $(-\frac{2}{5}; 2)$, или $(-0.4; 2)$.

Целые числа в этом интервале: 0, 1.

Ответ: 0, 1.

в)

Исходное неравенство: $(x + 2\sqrt{3})(x + 3\sqrt{2}) < 0$.

Это квадратное неравенство, левая часть которого представляет собой параболу с ветвями вверх. Неравенство выполняется между корнями уравнения $(x + 2\sqrt{3})(x + 3\sqrt{2}) = 0$.

Найдем корни:

$x_1 = -2\sqrt{3}$

$x_2 = -3\sqrt{2}$

Сравним корни. Для этого сравним их квадраты с отрицательным знаком:

$(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Так как $18 > 12$, то $\sqrt{18} > \sqrt{12}$, и, следовательно, $- \sqrt{18} < - \sqrt{12}$. Значит, $-3\sqrt{2} < -2\sqrt{3}$.

Решением неравенства является интервал $(-3\sqrt{2}; -2\sqrt{3})$.

Оценим значения корней:

$\sqrt{2} \approx 1.414 \Rightarrow -3\sqrt{2} \approx -3 \cdot 1.414 = -4.242$

$\sqrt{3} \approx 1.732 \Rightarrow -2\sqrt{3} \approx -2 \cdot 1.732 = -3.464$

Таким образом, мы ищем целые числа в интервале $(-4.242; -3.464)$.

Единственное целое число, которое удовлетворяет этому условию, это -4.

Ответ: -4.

г)

Исходное неравенство: $(x + 1 - \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{6}) \le 0$.

Аналогично предыдущему пункту, это парабола с ветвями вверх. Решение находится между корнями включительно.

Найдем корни уравнения $(x + 1 - \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{6}) = 0$:

$x + 1 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_1 = \sqrt{5} - 1$

$x + 1 - \sqrt{6} = 0 \Rightarrow x_2 = \sqrt{6} - 1$

Сравним корни. Так как $\sqrt{6} > \sqrt{5}$, то $\sqrt{6} - 1 > \sqrt{5} - 1$.

Решением неравенства является отрезок $[\sqrt{5} - 1; \sqrt{6} - 1]$.

Оценим значения границ отрезка:

$2^2 = 4$, $3^2=9$, поэтому $2 < \sqrt{5} < 3$ и $2 < \sqrt{6} < 3$.

Более точно: $\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{6} \approx 2.449$.

$x_1 = \sqrt{5} - 1 \approx 2.236 - 1 = 1.236$

$x_2 = \sqrt{6} - 1 \approx 2.449 - 1 = 1.449$

Мы ищем целые числа в отрезке $[\sqrt{5} - 1; \sqrt{6} - 1] \approx [1.236; 1.449]$.

В этом отрезке нет целых чисел.

Ответ: нет целых решений.

336 Найдите область определения выражения:

a) $\sqrt{15 - 2a - a^2} + \sqrt{\frac{1}{2}a^2 - 2}$;

б) $\sqrt{1 - \frac{1}{4}a} + \sqrt{33 + 5a - 2a^2}$.

Область определения выражения $ \sqrt{15 - 2a - a^2} + \sqrt{\frac{1}{2}a^2 - 2} $ находится как пересечение областей определения каждого из слагаемых. Поскольку оба слагаемых являются квадратными корнями, выражения под корнями должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 15 - 2a - a^2 \ge 0 \\ \frac{1}{2}a^2 - 2 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ 15 - 2a - a^2 \ge 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ a^2 + 2a - 15 \le 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ a^2 + 2a - 15 = 0 $. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $ a_1 = -5 $ и $ a_2 = 3 $.Парабола $ y = a^2 + 2a - 15 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ a^2 + 2a - 15 \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $ -5 \le a \le 3 $, что в виде интервала записывается как $ a \in [-5, 3] $.

Решим второе неравенство:

$ \frac{1}{2}a^2 - 2 \ge 0 $

Умножим обе части на 2:

$ a^2 - 4 \ge 0 $

Разложим левую часть на множители: $ (a - 2)(a + 2) \ge 0 $. Корни уравнения $ a^2 - 4 = 0 $ равны $ a_1 = -2 $ и $ a_2 = 2 $.Парабола $ y = a^2 - 4 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ a^2 - 4 \ge 0 $ выполняется вне интервала между корнями. Решение этого неравенства: $ a \le -2 $ или $ a \ge 2 $, что в виде интервалов записывается как $ a \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) $.

Теперь найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств: $ [-5, 3] \cap ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) $.

Пересечение отрезка $ [-5, 3] $ с лучом $ (-\infty, -2] $ дает отрезок $ [-5, -2] $.

Пересечение отрезка $ [-5, 3] $ с лучом $ [2, \infty) $ дает отрезок $ [2, 3] $.

Объединив эти два результата, получаем итоговую область определения.

Ответ: $ a \in [-5, -2] \cup [2, 3] $

Область определения выражения $ \sqrt{1 - \frac{1}{4}a} + \sqrt{33 + 5a - 2a^2} $ находится как пересечение областей определения каждого из слагаемых. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1 - \frac{1}{4}a \ge 0 \\ 33 + 5a - 2a^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ 1 - \frac{1}{4}a \ge 0 $

$ 1 \ge \frac{1}{4}a $

Умножим обе части на 4:

$ 4 \ge a $, или $ a \le 4 $. Решение в виде интервала: $ a \in (-\infty, 4] $.

Решим второе неравенство:

$ 33 + 5a - 2a^2 \ge 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ 2a^2 - 5a - 33 \le 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 2a^2 - 5a - 33 = 0 $. Вычислим дискриминант:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-33) = 25 + 264 = 289 = 17^2 $

Найдем корни:

$ a_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 17}{4} $

Корни равны $ a_1 = \frac{5 - 17}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $ и $ a_2 = \frac{5 + 17}{4} = \frac{22}{4} = 5.5 $.

Парабола $ y = 2a^2 - 5a - 33 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ 2a^2 - 5a - 33 \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями. Решение этого неравенства: $ -3 \le a \le 5.5 $, что в виде интервала записывается как $ a \in [-3, 5.5] $.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $ (-\infty, 4] \cap [-3, 5.5] $.

Общей частью этих двух множеств является отрезок от -3 до 4, включая концы.

Ответ: $ a \in [-3, 4] $