Номер 334, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Неравенства и системы неравенств. Глава 2. Квадратичная функция - номер 334, страница 135.

334 Решите неравенство:

a) $ \frac{x^2}{2} \ge \frac{4-3x}{5} $

б) $ \frac{7x-8}{2} \le \frac{3x^2}{4} $

а) $\frac{x^2}{2} \ge \frac{4-3x}{5}$

Для решения неравенства избавимся от знаменателей, умножив обе части на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 10.

$10 \cdot \frac{x^2}{2} \ge 10 \cdot \frac{4-3x}{5}$

$5x^2 \ge 2(4-3x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство стандартного вида:

$5x^2 \ge 8 - 6x$

$5x^2 + 6x - 8 \ge 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 6x - 8 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 - 14}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 + 14}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Мы получили квадратное неравенство, левая часть которого представляет собой параболу $y = 5x^2 + 6x - 8$ с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен: $5 > 0$). Корни $x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{4}{5}$ являются точками пересечения параболы с осью Ox.

Неравенство $5x^2 + 6x - 8 \ge 0$ выполняется там, где парабола находится на оси Ox или выше неё. Это происходит на интервалах до меньшего корня и после большего корня.

Таким образом, решение неравенства есть объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{4}{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{4}{5}, +\infty)$.

б) $\frac{7x-8}{2} \le \frac{3x^2}{4}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 4, чтобы избавиться от дробей.

$4 \cdot \frac{7x-8}{2} \le 4 \cdot \frac{3x^2}{4}$

$2(7x-8) \le 3x^2$

Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду $ax^2+bx+c \ge 0$.

$14x - 16 \le 3x^2$

$0 \le 3x^2 - 14x + 16$

Перепишем в более привычном виде:

$3x^2 - 14x + 16 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 14x + 16 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 14x + 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x_1=2$ и $x_2=\frac{8}{3}$.

Неравенство $3x^2 - 14x + 16 \ge 0$ будет верным для тех значений $x$, при которых парабола лежит на оси Ox или выше неё.

Это соответствует промежуткам $x \in (-\infty, 2]$ и $x \in [\frac{8}{3}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.