Номер 336, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Неравенства и системы неравенств. Глава 2. Квадратичная функция - номер 336, страница 135.

336 Найдите область определения выражения:

a) $\sqrt{15 - 2a - a^2} + \sqrt{\frac{1}{2}a^2 - 2}$;

б) $\sqrt{1 - \frac{1}{4}a} + \sqrt{33 + 5a - 2a^2}$.

а)

Область определения выражения $ \sqrt{15 - 2a - a^2} + \sqrt{\frac{1}{2}a^2 - 2} $ находится как пересечение областей определения каждого из слагаемых. Поскольку оба слагаемых являются квадратными корнями, выражения под корнями должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 15 - 2a - a^2 \ge 0 \\ \frac{1}{2}a^2 - 2 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ 15 - 2a - a^2 \ge 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ a^2 + 2a - 15 \le 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ a^2 + 2a - 15 = 0 $. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $ a_1 = -5 $ и $ a_2 = 3 $.Парабола $ y = a^2 + 2a - 15 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ a^2 + 2a - 15 \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $ -5 \le a \le 3 $, что в виде интервала записывается как $ a \in [-5, 3] $.

Решим второе неравенство:

$ \frac{1}{2}a^2 - 2 \ge 0 $

Умножим обе части на 2:

$ a^2 - 4 \ge 0 $

Разложим левую часть на множители: $ (a - 2)(a + 2) \ge 0 $. Корни уравнения $ a^2 - 4 = 0 $ равны $ a_1 = -2 $ и $ a_2 = 2 $.Парабола $ y = a^2 - 4 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ a^2 - 4 \ge 0 $ выполняется вне интервала между корнями. Решение этого неравенства: $ a \le -2 $ или $ a \ge 2 $, что в виде интервалов записывается как $ a \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) $.

Теперь найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств: $ [-5, 3] \cap ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) $.

Пересечение отрезка $ [-5, 3] $ с лучом $ (-\infty, -2] $ дает отрезок $ [-5, -2] $.

Пересечение отрезка $ [-5, 3] $ с лучом $ [2, \infty) $ дает отрезок $ [2, 3] $.

Объединив эти два результата, получаем итоговую область определения.

Ответ: $ a \in [-5, -2] \cup [2, 3] $

б)

Область определения выражения $ \sqrt{1 - \frac{1}{4}a} + \sqrt{33 + 5a - 2a^2} $ находится как пересечение областей определения каждого из слагаемых. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1 - \frac{1}{4}a \ge 0 \\ 33 + 5a - 2a^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ 1 - \frac{1}{4}a \ge 0 $

$ 1 \ge \frac{1}{4}a $

Умножим обе части на 4:

$ 4 \ge a $, или $ a \le 4 $. Решение в виде интервала: $ a \in (-\infty, 4] $.

Решим второе неравенство:

$ 33 + 5a - 2a^2 \ge 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ 2a^2 - 5a - 33 \le 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 2a^2 - 5a - 33 = 0 $. Вычислим дискриминант:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-33) = 25 + 264 = 289 = 17^2 $

Найдем корни:

$ a_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 17}{4} $

Корни равны $ a_1 = \frac{5 - 17}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $ и $ a_2 = \frac{5 + 17}{4} = \frac{22}{4} = 5.5 $.

Парабола $ y = 2a^2 - 5a - 33 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ 2a^2 - 5a - 33 \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями. Решение этого неравенства: $ -3 \le a \le 5.5 $, что в виде интервала записывается как $ a \in [-3, 5.5] $.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $ (-\infty, 4] \cap [-3, 5.5] $.

Общей частью этих двух множеств является отрезок от -3 до 4, включая концы.

Ответ: $ a \in [-3, 4] $