Номер 332, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Функции и графики. Глава 2. Квадратичная функция - номер 332, страница 135.

332 Постройте график функции и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с графиком три общие точки; две общие точки; одну общую точку:

а) $y=\begin{cases} 4 - x^2, \text{ если } x \le 2 \\ x - 2, \text{ если } x > 2; \end{cases}$

б) $y=\begin{cases} x, \text{ если } x \le -1 \\ x^2 - 2, \text{ если } x > -1. \end{cases}$

а)

Заданная функция является кусочной: $y = \begin{cases} 4 - x^2, & \text{если } x \le 2 \\ x - 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

Сначала построим график данной функции. Он состоит из двух частей.
Первая часть — это график функции $y = 4 - x^2$ на промежутке $(-\infty, 2]$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, обе из которых входят в указанный промежуток. В граничной точке $x=2$ значение функции равно $y=4-2^2=0$.
Вторая часть — это график функции $y = x - 2$ на промежутке $(2, +\infty)$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ (не включая саму точку) и идущий вправо вверх. Например, при $x=4$ получаем $y=2$.

Поскольку значение обеих частей функции в точке $x=2$ равно 0, график является непрерывной линией. Он состоит из части параболы с вершиной $(0, 4)$ до точки $(2, 0)$ и луча, выходящего из $(2, 0)$.

Теперь определим количество общих точек графика с горизонтальной прямой $y=a$ в зависимости от параметра $a$.
Прямая $y=a$ имеет три общие точки, когда пересекает обе ветви параболы и луч. Это возможно, если прямая находится между вершиной параболы $(y=4)$ и точкой "стыка" графиков $(y=0)$. То есть при $0 < a < 4$.
Прямая $y=a$ имеет две общие точки, когда проходит через точки пересечения с осью Ox. Это происходит при $a=0$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
Прямая $y=a$ имеет одну общую точку в следующих случаях: когда она проходит через вершину параболы ($a=4$); когда она находится выше вершины ($a>4$, пересечение только с лучом); и когда она находится ниже оси Ox ($a<0$, пересечение только с левой ветвью параболы). Объединяя эти случаи, получаем $a < 0$ или $a \ge 4$.

Ответ: три общие точки при $a \in (0, 4)$; две общие точки при $a=0$; одна общая точка при $a \in (-\infty, 0) \cup [4, +\infty)$.

б)

Заданная функция является кусочной: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \le -1 \\ x^2 - 2, & \text{если } x > -1 \end{cases}$.

Сначала построим график данной функции. Он состоит из двух частей.
Первая часть — это график функции $y = x$ на промежутке $(-\infty, -1]$. Это луч, который является частью биссектрисы I и III координатных четвертей и заканчивается в точке $(-1, -1)$ (включительно).
Вторая часть — это график функции $y = x^2 - 2$ на промежутке $(-1, +\infty)$. Это часть параболы с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$, которая принадлежит данному промежутку. График начинается в точке $(-1, -1)$ (не включая саму точку).

Поскольку значение обеих частей функции в точке $x=-1$ равно -1, график является непрерывной линией. Он состоит из луча, доходящего до $(-1, -1)$, и части параболы, которая из этой точки опускается до минимума в $(0, -2)$ и затем поднимается.

Теперь определим количество общих точек графика с горизонтальной прямой $y=a$ в зависимости от параметра $a$.
Прямая $y=a$ имеет три общие точки, когда она пересекает луч $y=x$ и обе части параболы (справа и слева от её вершины). Это происходит, когда прямая находится между уровнем "стыка" $y=-1$ и уровнем вершины параболы $y=-2$. То есть при $-2 < a < -1$.
Прямая $y=a$ имеет две общие точки в двух случаях: при $a=-2$ (точки пересечения $(-2, -2)$ и $(0, -2)$) и при $a=-1$ (точки пересечения $(-1, -1)$ и $(1, -1)$).
Прямая $y=a$ имеет одну общую точку, когда она находится выше точки "стыка" ($a > -1$, пересечение только с правой частью параболы) и когда она находится ниже вершины параболы ($a < -2$, пересечение только с лучом).

Ответ: три общие точки при $a \in (-2, -1)$; две общие точки при $a=-2$ и $a=-1$; одна общая точка при $a \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$.