Номер 325, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Графики уравнений, содержащих модули. Глава 2. Квадратичная функция - номер 325, страница 134.

325 а) $y = \left| \left|x\right| - 3 \right|$;

б) $y = \left| \left| \left|x\right| - 3 \right| - 3 \right|$.

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 3.

а) $y = ||x| - 3|$

Для построения графика функции $y = ||x| - 3|$ выполним последовательные преобразования, начиная с простейшего графика.

1. Строим график основной функции $y = |x|$. Это график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. Далее строим график функции $y = |x| - 3$. Для этого сдвигаем график $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). Вершина графика перемещается в точку $(0, -3)$. График пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, где $y=0$, то есть $|x| - 3 = 0$, откуда $|x|=3$. Таким образом, точки пересечения с осью Ox — это $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Наконец, строим искомый график $y = ||x| - 3|$. Этот график получается из графика $y = |x| - 3$ следующим преобразованием: часть графика, расположенная ниже оси Ox (где значения $y$ отрицательны), отражается симметрично относительно оси Ox, а часть графика, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений. Конкретно, часть графика $y = |x| - 3$ на интервале $(-3, 3)$ находится ниже оси Ox и будет отражена вверх. При этом точка минимума $(0, -3)$ переходит в точку локального максимума $(0, 3)$, а точки пересечения с осью Ox, $(-3, 0)$ и $(3, 0)$, становятся точками локального минимума. В результате получается график, похожий на букву "W".

Ответ: График функции $y = ||x| - 3|$ строится путем последовательных преобразований: 1) строится график $y = |x|$; 2) график сдвигается на 3 единицы вниз, получая $y = |x| - 3$; 3) часть графика $y = |x| - 3$, лежащая под осью Ox, отражается симметрично относительно этой оси. Итоговый график имеет форму буквы "W" с вершинами в точках $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

б) $y = |||x| - 3| - 3|$

Для построения графика этой функции воспользуемся графиком, полученным в пункте а). Обозначим $g(x) = ||x| - 3|$. Тогда наша функция имеет вид $y = |g(x) - 3|$. Построение также выполним по шагам.

1. Начинаем с графика функции $y = ||x| - 3|$, который был построен в пункте а). Это W-образный график с вершинами в точках $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

2. Далее строим график функции $y = ||x| - 3| - 3$. Для этого сдвигаем весь график $y = ||x| - 3|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Точка $(0, 3)$ перемещается в $(0, 0)$. Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ перемещаются в $(-3, -3)$ и $(3, -3)$. Новые точки пересечения с осью Ox находятся из уравнения $||x| - 3| - 3 = 0$, или $||x| - 3| = 3$. Это уравнение распадается на два: $|x| - 3 = 3$ (что дает $|x| = 6$, т.е. $x = \pm 6$) и $|x| - 3 = -3$ (что дает $|x| = 0$, т.е. $x = 0$). Таким образом, график пересекает ось Ox в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

3. Теперь строим искомый график $y = |||x| - 3| - 3|$. Для этого часть графика $y = ||x| - 3| - 3$, которая находится ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно оси Ox. Части графика, соответствующие интервалам $(-6, -3)$ и $(3, 6)$, находятся ниже оси Ox и отражаются вверх. При этом точки локальных минимумов $(-3, -3)$ и $(3, -3)$ переходят в точки локальных максимумов $(-3, 3)$. Точки пересечения с осью Ox, $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$, становятся точками локальных минимумов итогового графика. Итоговый график имеет более сложную форму, с двумя "пиками" на высоте 3 и тремя точками касания (или излома) на оси Ox.

Ответ: График функции $y = |||x| - 3| - 3|$ строится на основе графика из пункта а). 1) График $y = ||x| - 3|$ сдвигается на 3 единицы вниз. 2) Части полученного графика, лежащие под осью Ox, отражаются симметрично относительно этой оси. Итоговый график имеет локальные максимумы в точках $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ и локальные минимумы в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.