Номер 321, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 321, страница 130.

321 Постройте график функции:

а) $y = \frac{2x+7}{x+3}$

б) $y = \frac{4x+2}{x+1}$

Образец. Построим график функции $y = \frac{4x-5}{x-2}$.

Преобразуем дробь $\frac{4x-5}{x-2}$, выделив её целую часть:

$\frac{4x-5}{x-2} = \frac{4(x-2)+3}{x-2} = 4 + \frac{3}{x-2}$. Теперь легко найти асимптоты.

Продолжите решение.

Образец.

Продолжим решение, начатое в образце, для функции $y=\frac{4x-5}{x-2}$.

Преобразование функции путем выделения целой части уже дано: $y = \frac{4x-5}{x-2} = \frac{4(x-2)+3}{x-2} = 4 + \frac{3}{x-2}$

1. График данной функции — это гипербола. Его можно получить из графика функции $y=\frac{3}{x}$ с помощью параллельного переноса.

2. Определим асимптоты.

• Вертикальная асимптота: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \ne 0$, откуда $x \ne 2$. Уравнение вертикальной асимптоты: $x=2$.
• Горизонтальная асимптота: при неограниченном возрастании $|x|$, значение дроби $\frac{3}{x-2}$ стремится к нулю, следовательно, $y$ стремится к 4. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y=4$.

3. Таким образом, для построения графика нужно сдвинуть график функции $y=\frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Новые оси координат (асимптоты) будут проходить через точку $(2; 4)$.

4. Найдем несколько точек для более точного построения.

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = 4 + \frac{3}{0-2} = 4 - 1.5 = 2.5$. Точка $(0; 2.5)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = 4 + \frac{3}{x-2} \Rightarrow \frac{3}{x-2} = -4 \Rightarrow 3 = -4(x-2) \Rightarrow 3 = -4x+8 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x=1.25$. Точка $(1.25; 0)$.
• Дополнительные точки: при $x=3$, $y = 4 + \frac{3}{3-2} = 7$. Точка $(3; 7)$. при $x=5$, $y = 4 + \frac{3}{5-2} = 5$. Точка $(5; 5)$. при $x=1$, $y = 4 + \frac{3}{1-2} = 1$. Точка $(1; 1)$.

5. Строим асимптоты $x=2$ и $y=4$. Отмечаем вычисленные точки и плавно соединяем их, получая две ветви гиперболы, расположенные в первой и третьей четвертях относительно новых осей.

Ответ: График функции $y=\frac{4x-5}{x-2}$ является гиперболой, полученной сдвигом графика $y=\frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо и на 4 единицы вверх. Асимптоты графика — прямые $x=2$ и $y=4$. График проходит через точки $(1.25; 0)$, $(0; 2.5)$, $(3; 7)$, $(1; 1)$.

а) $y=\frac{2x+7}{x+3}$

1. Для построения графика преобразуем функцию, выделив целую часть: $y = \frac{2x+7}{x+3} = \frac{2(x+3) - 6 + 7}{x+3} = \frac{2(x+3)+1}{x+3} = 2 + \frac{1}{x+3}$.

2. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y=\frac{1}{x}$ с помощью параллельного переноса.

• Вертикальная асимптота: $x+3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$. Уравнение: $x=-3$.
• Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $\frac{1}{x+3} \to 0$, следовательно $y \to 2$. Уравнение: $y=2$.

3. Построение выполняется сдвигом графика $y=\frac{1}{x}$ на 3 единицы влево (т.к. $x+3$) и на 2 единицы вверх. Центр новой системы координат — точка $(-3; 2)$.

4. Найдем точки для построения.

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{2(0)+7}{0+3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$. Точка $(0; \frac{7}{3})$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = 2 + \frac{1}{x+3} \Rightarrow \frac{1}{x+3} = -2 \Rightarrow 1 = -2(x+3) \Rightarrow 1 = -2x-6 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = -3.5$. Точка $(-3.5; 0)$.
• Дополнительные точки: при $x=-2$, $y = 2 + \frac{1}{-2+3} = 3$. Точка $(-2; 3)$. при $x=-4$, $y = 2 + \frac{1}{-4+3} = 1$. Точка $(-4; 1)$.

5. Строим асимптоты $x=-3$ и $y=2$. Так как коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно новых осей. Отмечаем точки и строим график.

Ответ: График функции $y=\frac{2x+7}{x+3}$ является гиперболой, полученной сдвигом графика $y=\frac{1}{x}$ на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх. Асимптоты графика — прямые $x=-3$ и $y=2$. График проходит через точки $(-3.5; 0)$, $(0; \frac{7}{3})$, $(-2; 3)$, $(-4; 1)$.

б) $y=\frac{4x+2}{x+1}$

1. Выделим целую часть функции: $y = \frac{4x+2}{x+1} = \frac{4(x+1) - 4 + 2}{x+1} = \frac{4(x+1)-2}{x+1} = 4 - \frac{2}{x+1}$.

2. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y=-\frac{2}{x}$ с помощью параллельного переноса.

• Вертикальная асимптота: $x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$. Уравнение: $x=-1$.
• Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $-\frac{2}{x+1} \to 0$, следовательно $y \to 4$. Уравнение: $y=4$.

3. Построение выполняется сдвигом графика $y=-\frac{2}{x}$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх. Центр новой системы координат — точка $(-1; 4)$.

4. Найдем точки для построения.

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4(0)+2}{0+1} = 2$. Точка $(0; 2)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = 4 - \frac{2}{x+1} \Rightarrow 4 = \frac{2}{x+1} \Rightarrow 4(x+1) = 2 \Rightarrow 4x+4 = 2 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -0.5$. Точка $(-0.5; 0)$.
• Дополнительные точки: при $x=1$, $y = 4 - \frac{2}{1+1} = 3$. Точка $(1; 3)$. при $x=-2$, $y = 4 - \frac{2}{-2+1} = 4+2=6$. Точка $(-2; 6)$.

5. Строим асимптоты $x=-1$ и $y=4$. Так как коэффициент $k=-2 < 0$, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно новых осей. Отмечаем точки и строим график.

Ответ: График функции $y=\frac{4x+2}{x+1}$ является гиперболой, полученной сдвигом графика $y=-\frac{2}{x}$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх. Асимптоты графика — прямые $x=-1$ и $y=4$. График проходит через точки $(-0.5; 0)$, $(0; 2)$, $(1; 3)$, $(-2; 6)$.