Номер 317, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 317, страница 130.

317 1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

a) $y = \frac{1}{x} - 3;$

б) $y = -\frac{2}{x} + 4.$

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x} + q$, если:

a) $k > 0, q > 0;$

б) $k > 0, q < 0;$

в) $k < 0, q > 0;$

г) $k < 0, q < 0.$

1)

а) $y = \frac{1}{x} - 3$

График данной функции — это гипербола. Он может быть получен из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

Функция не определена при $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

При неограниченном возрастании или убывании $x$ ($x \to \pm\infty$), значение дроби $\frac{1}{x}$ стремится к нулю. Тогда $y$ стремится к -3. Следовательно, прямая $y = -3$ является горизонтальной асимптотой.

Построение графика по точкам:

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Выберем значения $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты.

При $x = -2$, $y = \frac{1}{-2} - 3 = -0.5 - 3 = -3.5$
При $x = -1$, $y = \frac{1}{-1} - 3 = -1 - 3 = -4$
При $x = -0.5$, $y = \frac{1}{-0.5} - 3 = -2 - 3 = -5$
При $x = 0.5$, $y = \frac{1}{0.5} - 3 = 2 - 3 = -1$
При $x = 1$, $y = \frac{1}{1} - 3 = 1 - 3 = -2$
При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} - 3 = 0.5 - 3 = -2.5$

Отметим точки (-2; -3.5), (-1; -4), (-0.5; -5), (0.5; -1), (1; -2), (2; -2.5) на координатной плоскости и проведем через них две плавные кривые (ветви гиперболы), приближающиеся к асимптотам $x=0$ и $y=-3$. Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы находятся в 1-й и 3-й четвертях относительно нового центра $(0, -3)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=-3$. График — гипербола с ветвями в I, III и IV координатных четвертях.

б) $y = -\frac{2}{x} + 4$

График данной функции — это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{2}{x}$ путем параллельного переноса на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy), так как при $x=0$ функция не определена.

Горизонтальная асимптота: $y = 4$, так как при $x \to \pm\infty$, дробь $-\frac{2}{x} \to 0$ и $y \to 4$.

Построение графика по точкам:

Составим таблицу значений:

При $x = -2$, $y = -\frac{2}{-2} + 4 = 1 + 4 = 5$
При $x = -1$, $y = -\frac{2}{-1} + 4 = 2 + 4 = 6$
При $x = 1$, $y = -\frac{2}{1} + 4 = -2 + 4 = 2$
При $x = 2$, $y = -\frac{2}{2} + 4 = -1 + 4 = 3$
При $x = 4$, $y = -\frac{2}{4} + 4 = -0.5 + 4 = 3.5$

Отметим точки (-2; 5), (-1; 6), (1; 2), (2; 3), (4; 3.5) и проведем через них ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам $x=0$ и $y=4$. Поскольку коэффициент $k=-2 < 0$, ветви гиперболы находятся во 2-й и 4-й четвертях относительно нового центра $(0, 4)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=4$. График — гипербола с ветвями в I, II и IV координатных четвертях.

---

2)

График функции $y = \frac{k}{x} + q$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ (ось Oy) и горизонтальной асимптотой $y=q$. Расположение ветвей гиперболы в координатной плоскости зависит от знаков параметров $k$ и $q$.

а) $k > 0, q > 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ проходит выше оси Ox. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот. Одна ветвь целиком лежит в I координатной четверти. Другая ветвь начинается во II четверти, пересекает ось Ox (в точке с абсциссой $x = -k/q < 0$) и уходит в III четверть.

Ответ: Асимптоты $x=0$ и $y=q$ (где $q>0$). Ветви расположены в I, II и III координатных четвертях.

б) $k > 0, q < 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ проходит ниже оси Ox. Так как $k > 0$, ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот. Одна ветвь целиком лежит в III координатной четверти. Другая ветвь начинается в I четверти, пересекает ось Ox (в точке с абсциссой $x = -k/q > 0$) и уходит в IV четверть.

Ответ: Асимптоты $x=0$ и $y=q$ (где $q<0$). Ветви расположены в I, III и IV координатных четвертях.

в) $k < 0, q > 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ проходит выше оси Ox. Так как $k < 0$, ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. Одна ветвь целиком лежит во II координатной четверти. Другая ветвь начинается в I четверти, пересекает ось Ox (в точке с абсциссой $x = -k/q > 0$) и уходит в IV четверть.

Ответ: Асимптоты $x=0$ и $y=q$ (где $q>0$). Ветви расположены в I, II и IV координатных четвертях.

г) $k < 0, q < 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ проходит ниже оси Ox. Так как $k < 0$, ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. Одна ветвь целиком лежит в IV координатной четверти. Другая ветвь начинается во II четверти, пересекает ось Ox (в точке с абсциссой $x = -k/q < 0$) и уходит в III четверть.

Ответ: Асимптоты $x=0$ и $y=q$ (где $q<0$). Ветви расположены в II, III и IV координатных четвертях.