Номер 313, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 313, страница 123.

313 Найти множество решений неравенства:

a) $-(x - 2)(x + 3)(x + 1) > 0$;

б) $-(x + 2)(x - 1)(x - 5) < 0$;

в) $-x(x + 1)(x - 6) \le 0$;

г) $-(x - 3)(5x - 2)(x + 1) \ge 0$.

Подсказка. a) Умножьте обе части неравенства на –1, заменив при этом знак неравенства на противоположный: $(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$.

а)

Исходное неравенство: $-(x - 2)(x + 3)(x + 1) > 0$.

Для решения воспользуемся методом интервалов. Сначала избавимся от знака "минус" перед выражением. Для этого умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$.

Теперь найдем корни соответствующего уравнения, то есть точки, в которых выражение равно нулю:

$(x - 2)(x + 3)(x + 1) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$, $x_3 = -1$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -3, -1, 2. Так как неравенство строгое ($<$), все точки будут выколотыми (не войдут в решение). Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Начнем с крайнего правого интервала, взяв любое число больше 2, например, $x = 3$:

$(3 - 2)(3 + 3)(3 + 1) = 1 \cdot 6 \cdot 4 = 24$.

Результат положительный ($24 > 0$), значит, на интервале $(2; \infty)$ выражение имеет знак "+".

Поскольку все множители в первой степени (нечетная кратность корней), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем следующую последовательность знаков: +, -, +, -.

Нас интересуют интервалы, где выражение $(x - 2)(x + 3)(x + 1)$ меньше нуля, то есть имеет знак "-".

Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 2)$.

б)

Исходное неравенство: $-(x + 2)(x - 1)(x - 5) < 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак на противоположный:

$(x + 2)(x - 1)(x - 5) > 0$.

Находим корни уравнения $(x + 2)(x - 1)(x - 5) = 0$:

$x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.

Отмечаем эти корни на числовой оси выколотыми точками, так как неравенство строгое ($>$). Получаем интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 5)$ и $(5; \infty)$.

Проверим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x=6$:

$(6 + 2)(6 - 1)(6 - 5) = 8 \cdot 5 \cdot 1 = 40$.

Результат положительный ($40 > 0$), значит, на интервале $(5; \infty)$ ставим знак "+".

Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нам нужно найти, где выражение больше нуля (знак "+").

Это интервалы $(-2; 1)$ и $(5; \infty)$.

Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (5; \infty)$.

в)

Исходное неравенство: $-x(x + 1)(x - 6) \le 0$.

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:

$x(x + 1)(x - 6) \ge 0$.

Находим корни уравнения $x(x + 1)(x - 6) = 0$:

$x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 6$.

Отмечаем корни на числовой оси закрашенными точками, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Корни в порядке возрастания: -1, 0, 6. Они образуют следующие промежутки.

Проверим знак в крайнем правом промежутке, взяв $x=7$:

$7(7 + 1)(7 - 6) = 7 \cdot 8 \cdot 1 = 56$.

Результат положительный ($56 > 0$), значит, на промежутке $[6; \infty)$ ставим знак "+".

Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+"), включая концы.

Это промежутки $[-1; 0]$ и $[6; \infty)$.

Ответ: $x \in [-1; 0] \cup [6; \infty)$.

г)

Исходное неравенство: $-(x - 3)(5x - 2)(x + 1) \ge 0$.

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:

$(x - 3)(5x - 2)(x + 1) \le 0$.

Находим корни уравнения $(x - 3)(5x - 2)(x + 1) = 0$:

$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$.

$5x - 2 = 0 \implies 5x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{5}$.

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -1, $\frac{2}{5}$, 3. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Проверим знак в крайнем правом промежутке, взяв $x=4$:

$(4 - 3)(5 \cdot 4 - 2)(4 + 1) = 1 \cdot 18 \cdot 5 = 90$.

Результат положительный ($90 > 0$), ставим знак "+".

Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"), включая концы.

Это промежутки $(-\infty; -1]$ и $[\frac{2}{5}; 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [\frac{2}{5}; 3]$.