Номер 319, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 319, страница 130.

319 Постройте в координатной плоскости асимптоты графика заданной функции и изобразите этот график схематически:

a) $y = \frac{1}{x+3} - 2$;

б) $y = -\frac{3}{x+4} + 6$;

в) $y = \frac{2}{x-1} - 4$;

г) $y = -\frac{6}{x-3} - 2$.

В каждом случае найдите координаты точек пересечения графика с осью x и осью y и отметьте эти точки на рисунке.

Для решения задачи мы будем использовать общие свойства функции вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, которая является гиперболой, смещенной относительно начала координат. Асимптотами такой функции являются прямые $x=a$ (вертикальная асимптота) и $y=b$ (горизонтальная асимптота). Точка пересечения асимптот $(a, b)$ является центром симметрии графика.

---

а) $y = \frac{1}{x+3} - 2$

1. Асимптоты графика.
Данная функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ при $k=1$, $a=-3$, $b=-2$.
Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель дроби равен нулю: $x+3=0$, откуда $x=-3$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.
Таким образом, асимптоты — прямые $x=-3$ и $y=-2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = \frac{1}{0+3} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1-6}{3} = -\frac{5}{3}$.
Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, -5/3)$.
Для нахождения точки пересечения с осью $Ox$, приравняем $y$ к нулю:
$0 = \frac{1}{x+3} - 2 \implies 2 = \frac{1}{x+3} \implies 2(x+3) = 1 \implies 2x+6=1 \implies 2x=-5 \implies x = -2.5$.
Точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(-2.5, 0)$.

3. Построение графика.
График функции — это гипербола $y=1/x$, смещенная на 3 единицы влево по оси $Ox$ и на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Так как коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно нового центра симметрии $(-3, -2)$. Строим асимптоты, отмечаем точки пересечения с осями и схематически проводим ветви гиперболы.

Ответ: асимптоты $x=-3$, $y=-2$; точки пересечения с осями: $(-2.5, 0)$ и $(0, -5/3)$.

---

б) $y = -\frac{3}{x+4} + 6$

1. Асимптоты графика.
Функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ при $k=-3$, $a=-4$, $b=6$.
Вертикальная асимптота: $x+4=0 \implies x=-4$.
Горизонтальная асимптота: $y=6$.

2. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y(0) = -\frac{3}{0+4} + 6 = -\frac{3}{4} + 6 = \frac{-3+24}{4} = \frac{21}{4} = 5.25$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 21/4)$.
При $y=0$: $0 = -\frac{3}{x+4} + 6 \implies \frac{3}{x+4} = 6 \implies 3 = 6(x+4) \implies 3 = 6x+24 \implies 6x=-21 \implies x = -3.5$.
Точка пересечения с осью $Ox$ — $(-3.5, 0)$.

3. Построение графика.
График функции — это гипербола $y=-3/x$, смещенная на 4 единицы влево и на 6 единиц вверх. Так как $k=-3 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно нового центра симметрии $(-4, 6)$.

Ответ: асимптоты $x=-4$, $y=6$; точки пересечения с осями: $(-3.5, 0)$ и $(0, 21/4)$.

---

в) $y = \frac{2}{x-1} - 4$

1. Асимптоты графика.
Функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ при $k=2$, $a=1$, $b=-4$.
Вертикальная асимптота: $x-1=0 \implies x=1$.
Горизонтальная асимптота: $y=-4$.

2. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y(0) = \frac{2}{0-1} - 4 = -2 - 4 = -6$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, -6)$.
При $y=0$: $0 = \frac{2}{x-1} - 4 \implies 4 = \frac{2}{x-1} \implies 4(x-1) = 2 \implies 4x-4=2 \implies 4x=6 \implies x=1.5$.
Точка пересечения с осью $Ox$ — $(1.5, 0)$.

3. Построение графика.
График функции — это гипербола $y=2/x$, смещенная на 1 единицу вправо и на 4 единицы вниз. Так как $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно нового центра симметрии $(1, -4)$.

Ответ: асимптоты $x=1$, $y=-4$; точки пересечения с осями: $(1.5, 0)$ и $(0, -6)$.

---

г) $y = -\frac{6}{x-3} - 2$

1. Асимптоты графика.
Функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ при $k=-6$, $a=3$, $b=-2$.
Вертикальная асимптота: $x-3=0 \implies x=3$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y(0) = -\frac{6}{0-3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 0)$.
Так как точка $(0,0)$ лежит на оси $Oy$, она же является точкой пересечения и с осью $Ox$. Проверим: При $y=0$: $0 = -\frac{6}{x-3} - 2 \implies 2 = -\frac{6}{x-3} \implies 2(x-3) = -6 \implies 2x-6=-6 \implies 2x=0 \implies x=0$.
Точка пересечения с осями — начало координат $(0, 0)$.

3. Построение графика.
График функции — это гипербола $y=-6/x$, смещенная на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Так как $k=-6 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно нового центра симметрии $(3, -2)$.

Ответ: асимптоты $x=3$, $y=-2$; точка пересечения с осями: $(0, 0)$.