Номер 320, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. График дробно-линейной функции. Глава 2. Квадратичная функция - номер 320, страница 130.

320 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x+4}{x+2}$;

б) $y = \frac{3-x}{x-1}$;

в) $y = \frac{x+1}{x+2}$.

Совет. В качестве образца воспользуйтесь примером 4, разобранным в тексте.

а) $y = \frac{x+4}{x+2}$

Для построения графика данной дробно-линейной функции преобразуем ее к виду $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$. Графиком такой функции является гипербола, полученная смещением графика $y = \frac{k}{x}$.

1. Преобразование выражения.
Выделим целую часть в дроби, представив числитель через знаменатель: $y = \frac{x+4}{x+2} = \frac{(x+2) + 2}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{2}{x+2} = 1 + \frac{2}{x+2}$.
Итак, функция имеет вид $y = \frac{2}{x+2} + 1$.

2. Определение асимптот.
График данной функции является смещенным графиком функции $y = \frac{2}{x}$. Смещение происходит на 2 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель равен нулю: $x+2=0$, то есть $x=-2$.
Горизонтальная асимптота соответствует смещению по оси Oy: $y=1$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
При $x=0$ (пересечение с осью Oy): $y = \frac{0+4}{0+2} = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $y=0$ (пересечение с осью Ox): $0 = \frac{x+4}{x+2}$, откуда $x+4=0 \implies x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек для построения.
Возьмем значения $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты:
Для $x=-3$, $y = \frac{-3+4}{-3+2} = -1$. Точка $(-3, -1)$.
Для $x=-1$, $y = \frac{-1+4}{-1+2} = 3$. Точка $(-1, 3)$.

5. Построение графика.
Строим систему координат, проводим пунктиром асимптоты $x=-2$ и $y=1$. Отмечаем вычисленные точки: $(0, 2)$, $(-4, 0)$, $(-3, -1)$, $(-1, 3)$. Соединяем точки плавными линиями, получая две ветви гиперболы. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно пересечения асимптот.

Ответ: График функции $y = \frac{x+4}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(-4, 0)$ и ось ординат в точке $(0, 2)$.

б) $y = \frac{3-x}{x-1}$

Это также дробно-линейная функция. Преобразуем ее к стандартному виду $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$.

1. Преобразование выражения.
$y = \frac{3-x}{x-1} = \frac{-(x-3)}{x-1} = \frac{-(x-1-2)}{x-1} = -\left(\frac{x-1}{x-1} - \frac{2}{x-1}\right) = -\left(1 - \frac{2}{x-1}\right) = -1 + \frac{2}{x-1}$.
Итак, функция имеет вид $y = \frac{2}{x-1} - 1$.

2. Определение асимптот.
График получается из $y=\frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x-1=0 \implies x=1$.
Горизонтальная асимптота: $y=-1$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y = \frac{3-0}{0-1} = -3$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
При $y=0$: $0 = \frac{3-x}{x-1} \implies 3-x=0 \implies x=3$. Точка пересечения с осью Ox: $(3, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек.
Для $x=2$, $y = \frac{3-2}{2-1} = 1$. Точка $(2, 1)$.
Для $x=-1$, $y = \frac{3-(-1)}{-1-1} = \frac{4}{-2} = -2$. Точка $(-1, -2)$.

5. Построение графика.
Строим асимптоты $x=1$ и $y=-1$. Отмечаем точки $(0, -3)$, $(3, 0)$, $(2, 1)$, $(-1, -2)$. Так как $k=2>0$, ветви гиперболы находятся в I и III четвертях относительно новых осей. Соединяем точки плавными кривыми, приближающимися к асимптотам.

Ответ: График функции $y = \frac{3-x}{x-1}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(3, 0)$ и ось ординат в точке $(0, -3)$.

в) $y = \frac{x+1}{x+2}$

Аналогично предыдущим пунктам, преобразуем функцию и найдем ее характеристики.

1. Преобразование выражения.
$y = \frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+2)-1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}$.
Функция имеет вид $y = \frac{-1}{x+2} + 1$.

2. Определение асимптот.
График получается из $y=\frac{-1}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x+2=0 \implies x=-2$.
Горизонтальная асимптота: $y=1$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y = \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0.5)$.
При $y=0$: $0 = \frac{x+1}{x+2} \implies x+1=0 \implies x=-1$. Точка пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек.
Для $x=-3$, $y = \frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2$. Точка $(-3, 2)$.
Для $x=-4$, $y = \frac{-4+1}{-4+2} = \frac{-3}{-2} = 1.5$. Точка $(-4, 1.5)$.

5. Построение графика.
Строим асимптоты $x=-2$ и $y=1$. Отмечаем точки $(0, 0.5)$, $(-1, 0)$, $(-3, 2)$, $(-4, 1.5)$. Так как коэффициент $k=-1<0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно пересечения асимптот. Соединяем точки плавными кривыми.

Ответ: График функции $y = \frac{x+1}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$ и ось ординат в точке $(0, 0.5)$.