Номер 314, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 314, страница 123.

314 Решите неравенство:

a) $x(x - 7)(2 - x) < 0$;

б) $(x + 5)(3 - x)(x - 1) > 0$;

в) $-x(x + 1)(4 - x)(6 - x) < 0$;

г) $x(1 - x)(5 + x)(3 - x) > 0$.

Подсказка. а) Вынесите во втором двучлене за скобки множитель -1 и умножьте обе части неравенства на -1:

$-x(x - 7)(x - 2) < 0$; $x(x - 7)(x - 2) > 0$.

а) $x(x - 7)(2 - x) < 0$

Для решения неравенства методом интервалов преобразуем его, чтобы коэффициенты при переменной $x$ в каждом множителе были положительными. Для этого вынесем множитель $-1$ из скобки $(2 - x)$:

$(2 - x) = -(x - 2)$

Подставим это в исходное неравенство:

$x(x - 7)(-(x - 2)) < 0$

$-x(x - 7)(x - 2) < 0$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x - 7)(x - 2) > 0$

Найдем нули (корни) левой части, приравняв ее к нулю: $x=0$, $x-7=0 \implies x=7$, $x-2=0 \implies x=2$.

Отметим корни $0, 2, 7$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(x - 7)(x - 2)$ на каждом интервале. В крайнем правом интервале $(7; +\infty)$ (например, при $x=10$) все множители положительны, значит, и произведение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Расставим знаки: $(-\infty; 0)$ - минус, $(0; 2)$ - плюс, $(2; 7)$ - минус, $(7; +\infty)$ - плюс.

Мы ищем значения $x$, для которых $x(x - 7)(x - 2) > 0$. Следовательно, выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) $(x + 5)(3 - x)(x - 1) > 0$

Приведем неравенство к стандартному виду для метода интервалов. Вынесем $-1$ из множителя $(3 - x)$:

$-(x + 5)(x - 3)(x - 1) > 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$(x + 5)(x - 3)(x - 1) < 0$

Найдем корни левой части: $x+5=0 \implies x=-5$, $x-3=0 \implies x=3$, $x-1=0 \implies x=1$.

Отметим корни $-5, 1, 3$ на числовой прямой. Они образуют интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 5)(x - 3)(x - 1)$ в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ (например, при $x=4$). Все множители положительны, значит, знак "плюс".

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: $(-\infty; -5)$ - минус, $(-5; 1)$ - плюс, $(1; 3)$ - минус, $(3; +\infty)$ - плюс.

Мы ищем решения для $(x + 5)(x - 3)(x - 1) < 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; 3)$.

в) $-x(x + 1)(4 - x)(6 - x) < 0$

Преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из множителей $(4 - x)$ и $(6 - x)$:

$-x(x + 1)(-(x - 4))(-(x - 6)) < 0$

Произведение трех минусов дает минус:

$-x(x + 1)(x - 4)(x - 6) < 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$x(x + 1)(x - 4)(x - 6) > 0$

Найдем корни: $x=0$, $x+1=0 \implies x=-1$, $x-4=0 \implies x=4$, $x-6=0 \implies x=6$.

Отметим корни $-1, 0, 4, 6$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(6; +\infty)$ (например, при $x=7$). Все множители положительны, знак "плюс".

Знаки чередуются: $(-\infty; -1)$ - плюс, $(-1; 0)$ - минус, $(0; 4)$ - плюс, $(4; 6)$ - минус, $(6; +\infty)$ - плюс.

Мы ищем решения для $x(x + 1)(x - 4)(x - 6) > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 4) \cup (6; +\infty)$.

г) $x(1 - x)(5 + x)(3 - x) > 0$

Преобразуем множители с отрицательным коэффициентом при $x$:

$(1 - x) = -(x - 1)$

$(3 - x) = -(x - 3)$

Подставим в неравенство:

$x(-(x - 1))(x + 5)(-(x - 3)) > 0$

Произведение двух минусов дает плюс. Переставим множители для удобства:

$x(x + 5)(x - 1)(x - 3) > 0$

Найдем корни: $x=0$, $x+5=0 \implies x=-5$, $x-1=0 \implies x=1$, $x-3=0 \implies x=3$.

Отметим корни $-5, 0, 1, 3$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ (например, при $x=4$). Все множители положительны, знак "плюс".

Знаки чередуются: $(-\infty; -5)$ - плюс, $(-5; 0)$ - минус, $(0; 1)$ - плюс, $(1; 3)$ - минус, $(3; +\infty)$ - плюс.

Мы ищем решения для $x(x + 5)(x - 1)(x - 3) > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; 1) \cup (3; +\infty)$.