Страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

312 Решите неравенство:

а) $(x + 1)(x - 1)(2x - 5) < 0;$

б) $(x + 4)(3x - 9) \le 0;$

в) $x(2x - 3)(x + 5) > 0;$

г) $(x - 3)(3x - 2)(x + 2) \ge 0.$

Подсказка. Преобразуйте неравенство в равносильное так, чтобы в каждом из множителей коэффициент при $x$ был равен 1. Например, а: вынесите в двучлене $2x - 5$ множитель 2 за скобки и разделите обе части неравенства на 2.

а) Дано неравенство: $(x + 1)(x - 1)(2x - 5) < 0$.
Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Сначала преобразуем множитель $(2x - 5)$, вынеся за скобку коэффициент при $x$: $2x - 5 = 2(x - \frac{5}{2}) = 2(x - 2.5)$.
Подставим это в неравенство: $(x + 1)(x - 1) \cdot 2(x - 2.5) < 0$.
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится: $(x + 1)(x - 1)(x - 2.5) < 0$.
Теперь найдем нули (корни) левой части, решив уравнение $(x + 1)(x - 1)(x - 2.5) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2.5$.
Отметим эти корни на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($<$), точки будут выколотыми, то есть не войдут в решение. Корни разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(2.5; +\infty)$, взяв любую точку, например, $x = 3$.
$(3 + 1)(3 - 1)(3 - 2.5) = 4 \cdot 2 \cdot 0.5 = 4 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах чередуются. Расставим знаки на интервалах слева направо: $-, +, -, +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($<0$). Это интервалы $(-\infty; -1)$ и $(1; 2.5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 2.5)$.

б) Дано неравенство: $(x + 4)(3x - 9) \leq 0$.
Преобразуем множитель $(3x - 9)$, вынеся за скобку 3: $3x - 9 = 3(x - 3)$.
Неравенство примет вид: $(x + 4) \cdot 3(x - 3) \leq 0$.
Разделим обе части на 3: $(x + 4)(x - 3) \leq 0$.
Найдем корни уравнения $(x + 4)(x - 3) = 0$.
Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.
Отметим эти корни на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому точки будут закрашенными, то есть войдут в решение. Корни разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; 3]$ и $[3; +\infty)$.
Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$: $(4 + 4)(4 - 3) = 8 \cdot 1 = 8 > 0$.
Знаки на интервалах чередуются: $+, -, +$.
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю ($\leq 0$). Это интервал $[-4; 3]$.
Ответ: $x \in [-4; 3]$.

в) Дано неравенство: $x(2x - 3)(x + 5) > 0$.
Преобразуем множитель $(2x - 3)$: $2x - 3 = 2(x - \frac{3}{2}) = 2(x - 1.5)$.
Неравенство примет вид: $x \cdot 2(x - 1.5)(x + 5) > 0$.
Разделим обе части на 2: $x(x - 1.5)(x + 5) > 0$.
Найдем корни уравнения $x(x - 1.5)(x + 5) = 0$.
Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1.5$.
Отметим корни на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 1.5)$ и $(1.5; +\infty)$.
Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 2$: $2(2 - 1.5)(2 + 5) = 2 \cdot 0.5 \cdot 7 = 7 > 0$.
Знаки на интервалах чередуются: $-, +, -, +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($>0$). Это интервалы $(-5; 0)$ и $(1.5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; 0) \cup (1.5; +\infty)$.

г) Дано неравенство: $(x - 3)(3x - 2)(x + 2) \geq 0$.
Преобразуем множитель $(3x - 2)$: $3x - 2 = 3(x - \frac{2}{3})$.
Неравенство примет вид: $(x - 3) \cdot 3(x - \frac{2}{3})(x + 2) \geq 0$.
Разделим обе части на 3: $(x - 3)(x - \frac{2}{3})(x + 2) \geq 0$.
Найдем корни уравнения $(x - 3)(x - \frac{2}{3})(x + 2) = 0$.
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{2}{3}$, $x_3 = 3$.
Отметим корни на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\geq$), точки будут закрашенными. Интервалы: $(-\infty; -2]$, $[-2; \frac{2}{3}]$, $[\frac{2}{3}; 3]$ и $[3; +\infty)$.
Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$: $(4 - 3)(4 - \frac{2}{3})(4 + 2) = 1 \cdot \frac{10}{3} \cdot 6 = 20 > 0$.
Знаки на интервалах чередуются: $-, +, -, +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\geq 0$). Это интервалы $[-2; \frac{2}{3}]$ и $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-2; \frac{2}{3}] \cup [3; +\infty)$.

313 Найти множество решений неравенства:

a) $-(x - 2)(x + 3)(x + 1) > 0$;

б) $-(x + 2)(x - 1)(x - 5) < 0$;

в) $-x(x + 1)(x - 6) \le 0$;

г) $-(x - 3)(5x - 2)(x + 1) \ge 0$.

Подсказка. a) Умножьте обе части неравенства на –1, заменив при этом знак неравенства на противоположный: $(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$.

а)

Исходное неравенство: $-(x - 2)(x + 3)(x + 1) > 0$.

Для решения воспользуемся методом интервалов. Сначала избавимся от знака "минус" перед выражением. Для этого умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$.

Теперь найдем корни соответствующего уравнения, то есть точки, в которых выражение равно нулю:

$(x - 2)(x + 3)(x + 1) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$, $x_3 = -1$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -3, -1, 2. Так как неравенство строгое ($<$), все точки будут выколотыми (не войдут в решение). Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Начнем с крайнего правого интервала, взяв любое число больше 2, например, $x = 3$:

$(3 - 2)(3 + 3)(3 + 1) = 1 \cdot 6 \cdot 4 = 24$.

Результат положительный ($24 > 0$), значит, на интервале $(2; \infty)$ выражение имеет знак "+".

Поскольку все множители в первой степени (нечетная кратность корней), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем следующую последовательность знаков: +, -, +, -.

Нас интересуют интервалы, где выражение $(x - 2)(x + 3)(x + 1)$ меньше нуля, то есть имеет знак "-".

Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 2)$.

б)

Исходное неравенство: $-(x + 2)(x - 1)(x - 5) < 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак на противоположный:

$(x + 2)(x - 1)(x - 5) > 0$.

Находим корни уравнения $(x + 2)(x - 1)(x - 5) = 0$:

$x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.

Отмечаем эти корни на числовой оси выколотыми точками, так как неравенство строгое ($>$). Получаем интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 5)$ и $(5; \infty)$.

Проверим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x=6$:

$(6 + 2)(6 - 1)(6 - 5) = 8 \cdot 5 \cdot 1 = 40$.

Результат положительный ($40 > 0$), значит, на интервале $(5; \infty)$ ставим знак "+".

Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нам нужно найти, где выражение больше нуля (знак "+").

Это интервалы $(-2; 1)$ и $(5; \infty)$.

Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (5; \infty)$.

в)

Исходное неравенство: $-x(x + 1)(x - 6) \le 0$.

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:

$x(x + 1)(x - 6) \ge 0$.

Находим корни уравнения $x(x + 1)(x - 6) = 0$:

$x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 6$.

Отмечаем корни на числовой оси закрашенными точками, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Корни в порядке возрастания: -1, 0, 6. Они образуют следующие промежутки.

Проверим знак в крайнем правом промежутке, взяв $x=7$:

$7(7 + 1)(7 - 6) = 7 \cdot 8 \cdot 1 = 56$.

Результат положительный ($56 > 0$), значит, на промежутке $[6; \infty)$ ставим знак "+".

Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+"), включая концы.

Это промежутки $[-1; 0]$ и $[6; \infty)$.

Ответ: $x \in [-1; 0] \cup [6; \infty)$.

г)

Исходное неравенство: $-(x - 3)(5x - 2)(x + 1) \ge 0$.

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:

$(x - 3)(5x - 2)(x + 1) \le 0$.

Находим корни уравнения $(x - 3)(5x - 2)(x + 1) = 0$:

$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$.

$5x - 2 = 0 \implies 5x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{5}$.

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -1, $\frac{2}{5}$, 3. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Проверим знак в крайнем правом промежутке, взяв $x=4$:

$(4 - 3)(5 \cdot 4 - 2)(4 + 1) = 1 \cdot 18 \cdot 5 = 90$.

Результат положительный ($90 > 0$), ставим знак "+".

Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"), включая концы.

Это промежутки $(-\infty; -1]$ и $[\frac{2}{5}; 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [\frac{2}{5}; 3]$.

314 Решите неравенство:

a) $x(x - 7)(2 - x) < 0$;

б) $(x + 5)(3 - x)(x - 1) > 0$;

в) $-x(x + 1)(4 - x)(6 - x) < 0$;

г) $x(1 - x)(5 + x)(3 - x) > 0$.

Подсказка. а) Вынесите во втором двучлене за скобки множитель -1 и умножьте обе части неравенства на -1:

$-x(x - 7)(x - 2) < 0$; $x(x - 7)(x - 2) > 0$.

а) $x(x - 7)(2 - x) < 0$

Для решения неравенства методом интервалов преобразуем его, чтобы коэффициенты при переменной $x$ в каждом множителе были положительными. Для этого вынесем множитель $-1$ из скобки $(2 - x)$:

$(2 - x) = -(x - 2)$

Подставим это в исходное неравенство:

$x(x - 7)(-(x - 2)) < 0$

$-x(x - 7)(x - 2) < 0$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x - 7)(x - 2) > 0$

Найдем нули (корни) левой части, приравняв ее к нулю: $x=0$, $x-7=0 \implies x=7$, $x-2=0 \implies x=2$.

Отметим корни $0, 2, 7$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(x - 7)(x - 2)$ на каждом интервале. В крайнем правом интервале $(7; +\infty)$ (например, при $x=10$) все множители положительны, значит, и произведение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Расставим знаки: $(-\infty; 0)$ - минус, $(0; 2)$ - плюс, $(2; 7)$ - минус, $(7; +\infty)$ - плюс.

Мы ищем значения $x$, для которых $x(x - 7)(x - 2) > 0$. Следовательно, выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) $(x + 5)(3 - x)(x - 1) > 0$

Приведем неравенство к стандартному виду для метода интервалов. Вынесем $-1$ из множителя $(3 - x)$:

$-(x + 5)(x - 3)(x - 1) > 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$(x + 5)(x - 3)(x - 1) < 0$

Найдем корни левой части: $x+5=0 \implies x=-5$, $x-3=0 \implies x=3$, $x-1=0 \implies x=1$.

Отметим корни $-5, 1, 3$ на числовой прямой. Они образуют интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 5)(x - 3)(x - 1)$ в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ (например, при $x=4$). Все множители положительны, значит, знак "плюс".

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: $(-\infty; -5)$ - минус, $(-5; 1)$ - плюс, $(1; 3)$ - минус, $(3; +\infty)$ - плюс.

Мы ищем решения для $(x + 5)(x - 3)(x - 1) < 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; 3)$.

в) $-x(x + 1)(4 - x)(6 - x) < 0$

Преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из множителей $(4 - x)$ и $(6 - x)$:

$-x(x + 1)(-(x - 4))(-(x - 6)) < 0$

Произведение трех минусов дает минус:

$-x(x + 1)(x - 4)(x - 6) < 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$x(x + 1)(x - 4)(x - 6) > 0$

Найдем корни: $x=0$, $x+1=0 \implies x=-1$, $x-4=0 \implies x=4$, $x-6=0 \implies x=6$.

Отметим корни $-1, 0, 4, 6$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(6; +\infty)$ (например, при $x=7$). Все множители положительны, знак "плюс".

Знаки чередуются: $(-\infty; -1)$ - плюс, $(-1; 0)$ - минус, $(0; 4)$ - плюс, $(4; 6)$ - минус, $(6; +\infty)$ - плюс.

Мы ищем решения для $x(x + 1)(x - 4)(x - 6) > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 4) \cup (6; +\infty)$.

г) $x(1 - x)(5 + x)(3 - x) > 0$

Преобразуем множители с отрицательным коэффициентом при $x$:

$(1 - x) = -(x - 1)$

$(3 - x) = -(x - 3)$

Подставим в неравенство:

$x(-(x - 1))(x + 5)(-(x - 3)) > 0$

Произведение двух минусов дает плюс. Переставим множители для удобства:

$x(x + 5)(x - 1)(x - 3) > 0$

Найдем корни: $x=0$, $x+5=0 \implies x=-5$, $x-1=0 \implies x=1$, $x-3=0 \implies x=3$.

Отметим корни $-5, 0, 1, 3$ на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ (например, при $x=4$). Все множители положительны, знак "плюс".

Знаки чередуются: $(-\infty; -5)$ - плюс, $(-5; 0)$ - минус, $(0; 1)$ - плюс, $(1; 3)$ - минус, $(3; +\infty)$ - плюс.

Мы ищем решения для $x(x + 5)(x - 1)(x - 3) > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; 1) \cup (3; +\infty)$.

315 Найдите множество решений неравенства, разложив его левую часть на множители:

а) $x^3 - 0,25x < 0;$

б) $x^3 + 2x^2 - x - 2 < 0;$

В) $x^3 - x^2 - 9x + 9 \ge 0;$

Г) $(1 - x)(x^2 + x - 6)(x + 6) \le 0.$

а) $x^3 - 0,25x < 0$
Разложим левую часть неравенства на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,25) < 0$
Выражение в скобках представляет собой разность квадратов $x^2 - (0,5)^2$, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 0,5)(x + 0,5) < 0$
Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$x(x - 0,5)(x + 0,5) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 0,5$, $x_3 = -0,5$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -0,5)$, $(-0,5; 0)$, $(0; 0,5)$ и $(0,5; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=1$:
$1(1 - 0,5)(1 + 0,5) = 1 \cdot 0,5 \cdot 1,5 = 0,75 > 0$.
Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в интервалах будут чередоваться: `+`, `-`, `+`, `-`.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»). Это интервалы $(-\infty; -0,5)$ и $(0; 0,5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; 0,5)$.

б) $x^3 + 2x^2 - x - 2 < 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 + 2x^2) - (x + 2) < 0$
$x^2(x + 2) - 1(x + 2) < 0$
$(x^2 - 1)(x + 2) < 0$
Разложим множитель $(x^2 - 1)$ как разность квадратов:
$(x - 1)(x + 1)(x + 2) < 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -2$.
Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -2, -1, 1. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.
Определим знаки. При $x=2$ (крайний правый интервал), выражение $(2-1)(2+1)(2+2) = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12 > 0$.
Знаки в интервалах, чередуясь, будут: `-`, `+`, `-`, `+`.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»). Это $(-\infty; -2)$ и $(-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 1)$.

в) $x^3 - x^2 - 9x + 9 \ge 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) - (9x - 9) \ge 0$
$x^2(x - 1) - 9(x - 1) \ge 0$
$(x^2 - 9)(x - 1) \ge 0$
Разложим множитель $(x^2 - 9)$ как разность квадратов:
$(x - 3)(x + 3)(x - 1) \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = 1$.
Расположим корни на числовой оси: -3, 1, 3. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут включены в решение.
Интервалы: $(-\infty; -3]$, $[-3; 1]$, $[1; 3]$, $[3; +\infty)$.
Определим знаки. При $x=4$, выражение $(4-3)(4+3)(4-1) = 1 \cdot 7 \cdot 3 = 21 > 0$.
Знаки в интервалах, чередуясь, будут: `-`, `+`, `-`, `+`.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак «+» и сами корни). Это $[-3; 1]$ и $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-3; 1] \cup [3; +\infty)$.

г) $(1 - x)(x^2 + x - 6)(x + 6) \le 0$
Разложим каждый множитель в левой части на линейные.
Первый множитель: $(1 - x) = -(x - 1)$.
Второй множитель, $x^2 + x - 6$, разложим, найдя его корни через дискриминант или по теореме Виета. Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$.
Подставим разложенные множители в исходное неравенство:
$-(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) \le 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -3$, $x_4 = -6$.
Расположим корни на числовой оси: -6, -3, 1, 2. Неравенство нестрогое, поэтому точки включены.
Промежутки: $(-\infty; -6]$, $[-6; -3]$, $[-3; 1]$, $[1; 2]$, $[2; +\infty)$.
Определим знаки. При $x=3$ (крайний правый интервал), выражение $(3-1)(3-2)(3+3)(3+6) > 0$.
Знаки в промежутках, чередуясь, будут: `+`, `-`, `+`, `-`, `+`.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак «+» и сами корни).
Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [-3; 1] \cup [2; +\infty)$.

316 Решите неравенство:

a) $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) > 0;$

б) $(x^2 + x + 2)(x^2 - 5x + 4)(x - 2) \le 0;$

в) $(3x^2 + 1)(x^2 + x - 6) \ge 0.$

Подсказка.

а) При любом значении $x$ множитель $x^2 + 1$ принимает положительные значения, поэтому неравенство можно заменить равносильным более простого вида.

а) Решим неравенство $(x^2 + 1)(x - 6)(x + 3) > 0$.

Множитель $x^2 + 1$ всегда принимает положительные значения, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, и следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на этот множитель, не меняя знака неравенства.

Неравенство равносильно более простому: $(x - 6)(x + 3) > 0$.

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 6)$ и $(6, +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 6)(x + 3)$ в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, -3)$ (например, $x = -4$): $(-4-6)(-4+3) = (-10)(-1) = 10 > 0$. Знак «+».
• При $x \in (-3, 6)$ (например, $x = 0$): $(0-6)(0+3) = (-6)(3) = -18 < 0$. Знак «−».
• При $x \in (6, +\infty)$ (например, $x = 7$): $(7-6)(7+3) = (1)(10) = 10 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (6, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x^2 + x + 2)(x^2 - 5x + 4)(x - 2) \le 0$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Для квадратного трехчлена $x^2 + x + 2$ найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 + x + 2$ всегда положительно при любых значениях $x$. Значит, мы можем разделить на него неравенство, сохранив знак.

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Решим уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Неравенство принимает вид: $(x - 1)(x - 4)(x - 2) \le 0$.

Решим его методом интервалов. Корни множителей: $1, 2, 4$. Они разбивают числовую ось на интервалы. Определим знаки произведения на этих интервалах.

• При $x \in (-\infty, 1)$ (например, $x = 0$): $(0-1)(0-4)(0-2) = (-1)(-4)(-2) = -8 \le 0$. Знак «−».
• При $x \in (1, 2)$ (например, $x = 1.5$): $(1.5-1)(1.5-4)(1.5-2) = (0.5)(-2.5)(-0.5) > 0$. Знак «+».
• При $x \in (2, 4)$ (например, $x = 3$): $(3-1)(3-4)(3-2) = (2)(-1)(1) = -2 \le 0$. Знак «−».
• При $x \in (4, +\infty)$ (например, $x = 5$): $(5-1)(5-4)(5-2) = (4)(1)(3) = 12 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак «−»). Это интервалы $(-\infty, 1]$ и $[2, 4]$. Включаем концы интервалов, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, 4]$.

в) Решим неравенство $(3x^2 + 1)(x^2 + x - 6) \ge 0$.

Рассмотрим множитель $3x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, а значит $3x^2 + 1 \ge 1$. Этот множитель всегда положителен.

Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $3x^2 + 1$, не меняя знака. Получаем равносильное неравенство: $x^2 + x - 6 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6$, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$.

Неравенство можно переписать в виде $(x + 3)(x - 2) \ge 0$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это объединение промежутков $(-\infty, -3]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.