Номер 315, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 315, страница 123.

315 Найдите множество решений неравенства, разложив его левую часть на множители:

а) $x^3 - 0,25x < 0;$

б) $x^3 + 2x^2 - x - 2 < 0;$

В) $x^3 - x^2 - 9x + 9 \ge 0;$

Г) $(1 - x)(x^2 + x - 6)(x + 6) \le 0.$

а) $x^3 - 0,25x < 0$
Разложим левую часть неравенства на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,25) < 0$
Выражение в скобках представляет собой разность квадратов $x^2 - (0,5)^2$, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 0,5)(x + 0,5) < 0$
Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$x(x - 0,5)(x + 0,5) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 0,5$, $x_3 = -0,5$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -0,5)$, $(-0,5; 0)$, $(0; 0,5)$ и $(0,5; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=1$:
$1(1 - 0,5)(1 + 0,5) = 1 \cdot 0,5 \cdot 1,5 = 0,75 > 0$.
Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в интервалах будут чередоваться: `+`, `-`, `+`, `-`.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»). Это интервалы $(-\infty; -0,5)$ и $(0; 0,5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; 0,5)$.

б) $x^3 + 2x^2 - x - 2 < 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 + 2x^2) - (x + 2) < 0$
$x^2(x + 2) - 1(x + 2) < 0$
$(x^2 - 1)(x + 2) < 0$
Разложим множитель $(x^2 - 1)$ как разность квадратов:
$(x - 1)(x + 1)(x + 2) < 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -2$.
Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -2, -1, 1. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.
Определим знаки. При $x=2$ (крайний правый интервал), выражение $(2-1)(2+1)(2+2) = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12 > 0$.
Знаки в интервалах, чередуясь, будут: `-`, `+`, `-`, `+`.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»). Это $(-\infty; -2)$ и $(-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 1)$.

в) $x^3 - x^2 - 9x + 9 \ge 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) - (9x - 9) \ge 0$
$x^2(x - 1) - 9(x - 1) \ge 0$
$(x^2 - 9)(x - 1) \ge 0$
Разложим множитель $(x^2 - 9)$ как разность квадратов:
$(x - 3)(x + 3)(x - 1) \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = 1$.
Расположим корни на числовой оси: -3, 1, 3. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут включены в решение.
Интервалы: $(-\infty; -3]$, $[-3; 1]$, $[1; 3]$, $[3; +\infty)$.
Определим знаки. При $x=4$, выражение $(4-3)(4+3)(4-1) = 1 \cdot 7 \cdot 3 = 21 > 0$.
Знаки в интервалах, чередуясь, будут: `-`, `+`, `-`, `+`.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак «+» и сами корни). Это $[-3; 1]$ и $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-3; 1] \cup [3; +\infty)$.

г) $(1 - x)(x^2 + x - 6)(x + 6) \le 0$
Разложим каждый множитель в левой части на линейные.
Первый множитель: $(1 - x) = -(x - 1)$.
Второй множитель, $x^2 + x - 6$, разложим, найдя его корни через дискриминант или по теореме Виета. Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$.
Подставим разложенные множители в исходное неравенство:
$-(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) \le 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -3$, $x_4 = -6$.
Расположим корни на числовой оси: -6, -3, 1, 2. Неравенство нестрогое, поэтому точки включены.
Промежутки: $(-\infty; -6]$, $[-6; -3]$, $[-3; 1]$, $[1; 2]$, $[2; +\infty)$.
Определим знаки. При $x=3$ (крайний правый интервал), выражение $(3-1)(3-2)(3+3)(3+6) > 0$.
Знаки в промежутках, чередуясь, будут: `+`, `-`, `+`, `-`, `+`.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак «+» и сами корни).
Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [-3; 1] \cup [2; +\infty)$.