Номер 311, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Метод интервалов. Глава 2. Квадратичная функция - номер 311, страница 122.

311 Решите неравенство методом интервалов:

а) $(x + 5)(x - 3)(x - 1) > 0;$

б) $(x - 2)(x + 4)(x + 1) < 0;$

в) $(x - 1)(x + 2)(x - 2) \le 0;$

г) $x(x + 3)(x - 5) \ge 0.$

Подсказка. Отметив корни на координатной прямой, запишите неравенство, расположив множители в порядке возрастания корней. Пункты в) и г): обратите внимание на то, что значения $x$, которые обращают произведение в нуль, входят в множество решений неравенства; чтобы не забыть об этом, на координатной прямой отмечайте точки чёрным кружком.

а) Для решения неравенства $(x + 5)(x - 3)(x - 1) > 0$ воспользуемся методом интервалов.
1. Найдём нули (корни) выражения в левой части, решив уравнение $(x + 5)(x - 3)(x - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$
$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$
2. Отметим найденные корни на числовой прямой в порядке возрастания: -5, 1, 3. Поскольку неравенство строгое (знак $>$), точки на прямой будут выколотыми, то есть не будут входить в решение.
3. Корни разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.
4. Определим знак выражения в самом правом интервале $(3; +\infty)$, взяв любое число из него, например, $x = 4$:
$(4 + 5)(4 - 3)(4 - 1) = 9 \cdot 1 \cdot 3 = 27$. Результат положительный, значит, на этом интервале ставим знак "+".
5. Все корни имеют нечетную степень (первую), поэтому при переходе через каждый корень знак будет меняться на противоположный. Двигаясь справа налево, расставляем знаки: $(-\infty; -5) \to -$; $(-5; 1) \to +$; $(1; 3) \to -$; $(3; +\infty) \to +$.
6. Согласно знаку неравенства ($>$), нам нужны интервалы, где выражение положительно (имеет знак "+").
Это интервалы $(-5; 1)$ и $(3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; 1) \cup (3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 2)(x + 4)(x + 1) < 0$.
1. Найдём корни, приравняв левую часть к нулю: $(x - 2)(x + 4)(x + 1) = 0$.
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$
$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$
2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -4, -1, 2. Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки выколотые.
3. Корни разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.
4. Определим знак в крайнем правом интервале $(2; +\infty)$, взяв $x=3$:
$(3 - 2)(3 + 4)(3 + 1) = 1 \cdot 7 \cdot 4 = 28$. Знак "+".
5. Знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -4) \to -$; $(-4; -1) \to +$; $(-1; 2) \to -$; $(2; +\infty) \to +$.
6. По условию ($<$) нам нужны интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -4)$ и $(-1; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-1; 2)$.

в) Решим неравенство $(x - 1)(x + 2)(x - 2) \le 0$.
1. Найдём корни: $(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0$.
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
$x - 2 = 0 \implies x_3 = 2$
2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -2, 1, 2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки будут закрашенными, то есть сами корни входят в множество решений.
3. Корни разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -2]$, $[-2; 1]$, $[1; 2]$, $[2; +\infty)$.
4. Определим знак в интервале $(2; +\infty)$, взяв $x=3$:
$(3 - 1)(3 + 2)(3 - 2) = 2 \cdot 5 \cdot 1 = 10$. Знак "+".
5. Знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -2] \to -$; $[-2; 1] \to +$; $[1; 2] \to -$; $[2; +\infty) \to +$.
6. Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").
Это промежутки $(-\infty; -2]$ и $[1; 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; 2]$.

г) Решим неравенство $x(x + 3)(x - 5) \ge 0$.
1. Найдём корни: $x(x + 3)(x - 5) = 0$.
$x_1 = 0$
$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
$x - 5 = 0 \implies x_3 = 5$
2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -3, 0, 5. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки закрашенные.
3. Корни разбивают прямую на промежутки: $(-\infty; -3]$, $[-3; 0]$, $[0; 5]$, $[5; +\infty)$.
4. Определим знак в крайнем правом промежутке $[5; +\infty)$, взяв $x=6$:
$6(6 + 3)(6 - 5) = 6 \cdot 9 \cdot 1 = 54$. Знак "+".
5. Знаки на промежутках чередуются: $(-\infty; -3] \to -$; $[-3; 0] \to +$; $[0; 5] \to -$; $[5; +\infty) \to +$.
6. Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+").
Это промежутки $[-3; 0]$ и $[5; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-3; 0] \cup [5; +\infty)$.