Номер 304, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 304, страница 120.

304 Решите систему неравенств:

a) $$\begin{cases} 6x^2 - 54 \le 0 \\ x + 3 > 3; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 \ge 0 \\ 2 - \frac{1}{2}x \ge 0; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 6x^2 + 7x + 1 \le 0 \\ x^2 - 4 \ge 0; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} x^2 - 1 \le 0 \\ x^2 - 3x \ge 0; \end{cases}$$

д) $$\begin{cases} x^2 + 5 > 0 \\ x^2 + 5x > 0; \end{cases}$$

е) $$\begin{cases} -(x + 1)^2 < 0 \\ 1 - x \ge 0. \end{cases}$$

а) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $6x^2 - 54 \le 0$.
Разделим обе части на 6: $x^2 - 9 \le 0$.
Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) \le 0$.
Корни соответствующего уравнения $x^2 - 9 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны на отрезке между корнями.
Следовательно, решение этого неравенства: $x \in [-3, 3]$.
2) $x + 3 > 3$.
Вычтем 3 из обеих частей: $x > 0$.
Решение этого неравенства: $x \in (0, +\infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-3, 3] \cap (0, +\infty)$.
Общим решением является интервал $(0, 3]$.
Ответ: $(0, 3]$.

б) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $3x^2 + 2x - 1 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Парабола $y = 3x^2 + 2x - 1$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ вне отрезка между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)$.
2) $2 - \frac{1}{2}x \ge 0$.
$-\frac{1}{2}x \ge -2$.
Умножим на -2 и сменим знак неравенства: $x \le 4$.
Решение: $x \in (-\infty, 4]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)) \cap (-\infty, 4]$.
Общим решением является объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, 4]$.
Ответ: $(-\infty, -1] \cup [\frac{1}{3}, 4]$.

в) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $6x^2 + 7x + 1 \le 0$.
Найдем корни уравнения $6x^2 + 7x + 1 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-7 - 5}{12} = -1$.
$x_2 = \frac{-7 + 5}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Парабола $y = 6x^2 + 7x + 1$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Решение: $x \in [-1, -\frac{1}{6}]$.
2) $x^2 - 4 \ge 0$.
$(x - 2)(x + 2) \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола с ветвями вверх, значит, неравенство верно вне отрезка между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $[-1, -\frac{1}{6}] \cap ((-\infty, -2] \cup [2, +\infty))$.
Отрезок $[-1, -\frac{1}{6}]$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

г) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $x^2 - 1 \le 0$.
$(x - 1)(x + 1) \le 0$.
Решением является отрезок между корнями $x = -1$ и $x = 1$.
Решение: $x \in [-1, 1]$.
2) $x^2 - 3x \ge 0$.
$x(x - 3) \ge 0$.
Корни $x=0, x=3$. Парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне отрезка между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $[-1, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [3, +\infty))$.
Пересечением является отрезок $[-1, 0]$.
Ответ: $[-1, 0]$.

д) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $x^2 + 5 > 0$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$.
Следовательно, неравенство $x^2 + 5 > 0$ выполняется для всех $x$.
Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.
2) $x^2 + 5x > 0$.
$x(x + 5) > 0$.
Корни $x=0, x=-5$. Парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap ((-\infty, -5) \cup (0, +\infty))$.
Общим решением является $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -5) \cup (0, +\infty)$.

е) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $-(x + 1)^2 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $(x + 1)^2 > 0$.
Квадрат любого выражения не отрицателен. Равенство нулю достигается при $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = -1$.
Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.
2) $1 - x \ge 0$.
$1 \ge x$, или $x \le 1$.
Решение: $x \in (-\infty, 1]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)) \cap (-\infty, 1]$.
Это все числа из промежутка $(-\infty, 1]$, за исключением точки $x = -1$.
Общим решением является $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$.
Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$.