Номер 306, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 306, страница 120.

306 a) При каких значениях $b$ уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$ имеет два корня? Имеет ли уравнение корни при $b = -25,5; 1,5; 5,36$?

б) При каких значениях $b$ уравнение $-2x^2 - bx - 8 = 0$ имеет корни? Приведите пример отрицательного значения $b$, удовлетворяющего этому условию.

а)

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$.
Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Формула дискриминанта: $D = k^2 - 4ac$, где $a, k, c$ — коэффициенты уравнения $ax^2 + kx + c = 0$.
Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, коэффициент при $x$ равен $b$, свободный член $c = 4$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 - 16$.

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).
Решим неравенство:
$b^2 - 16 > 0$
$b^2 > 16$
Это неравенство верно, когда $|b| > 4$, то есть $b < -4$ или $b > 4$.
Таким образом, уравнение имеет два корня при $b \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь проверим, имеет ли уравнение корни (один или два) при заданных значениях $b$. Уравнение имеет действительные корни, если $D \ge 0$, то есть $b^2 - 16 \ge 0$, что эквивалентно $|b| \ge 4$.
- При $b = -25,5$: вычисляем $|-25,5| = 25,5$. Так как $25,5 \ge 4$, условие выполняется, и уравнение имеет корни.
- При $b = 1,5$: вычисляем $|1,5| = 1,5$. Так как $1,5 < 4$, условие не выполняется, и уравнение не имеет действительных корней.
- При $b = 5,36$: вычисляем $|5,36| = 5,36$. Так как $5,36 \ge 4$, условие выполняется, и уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение имеет два корня при $b \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$. При $b = -25,5$ и $b = 5,36$ уравнение имеет корни, а при $b = 1,5$ — не имеет.

б)

Рассмотрим квадратное уравнение $-2x^2 - bx - 8 = 0$.
Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).
Коэффициенты уравнения: $a = -2$, коэффициент при $x$ равен $-b$, свободный член $c = -8$.
Найдем дискриминант:
$D = (-b)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-8) = b^2 - 64$.

Решим неравенство $D \ge 0$:
$b^2 - 64 \ge 0$
$b^2 \ge 64$
Это неравенство выполняется, если $|b| \ge 8$, то есть $b \ge 8$ или $b \le -8$.
Следовательно, уравнение имеет корни при $b \in (-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$.

Далее, приведем пример отрицательного значения $b$, удовлетворяющего этому условию. Для этого необходимо выбрать любое число из промежутка $(-\infty; -8]$.
Например, выберем $b = -10$. Это отрицательное число, и оно удовлетворяет условию $b \le -8$, так как $-10 \le -8$.

Ответ: уравнение имеет корни при $b \in (-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$. Пример отрицательного значения $b$, удовлетворяющего этому условию: $-10$.