Номер 305, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 305, страница 120.

305 РАССУЖДАЕМ Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) $\sqrt{7x^2 + 6x - 1}$;

б) $\sqrt{4 + x - 0,5x^2}$;

в) $\sqrt{3 - \frac{1}{2}x^2}$;

г) $\sqrt{\frac{9 - x^2}{x}}$;

д) $\sqrt{\frac{4 - x^2}{x^2 - 1}}$;

е) $\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}}$.

а) Выражение $ \sqrt{7x^2 + 6x - 1} $ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:
$ 7x^2 + 6x - 1 \geq 0 $
Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения $ 7x^2 + 6x - 1 = 0 $.
Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{-6 - 8}{14} = \frac{-14}{14} = -1 $
$ x_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{-6 + 8}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $
Графиком функции $ y = 7x^2 + 6x - 1 $ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $ x^2 $ равен 7, что больше 0). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $ x \leq -1 $ или $ x \geq \frac{1}{7} $.
В виде интервалов: $ x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, +\infty) $.

б) Для выражения $ \sqrt{4 + x - 0,5x^2} $ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$ 4 + x - 0,5x^2 \geq 0 $
Умножим неравенство на -2, чтобы избавиться от дробного коэффициента и сделать коэффициент при $ x^2 $ положительным. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$ x^2 - 2x - 8 \leq 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 - 2x - 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -8. Корни: $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 4 $.
Графиком функции $ y = x^2 - 2x - 8 $ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $ -2 \leq x \leq 4 $.
В виде интервала: $ x \in [-2, 4] $.
Ответ: $ x \in [-2, 4] $.

в) Для выражения $ \sqrt{3 - \frac{1}{2}x^2} $ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$ 3 - \frac{1}{2}x^2 \geq 0 $
$ 3 \geq \frac{1}{2}x^2 $
$ 6 \geq x^2 $, или $ x^2 \leq 6 $.
Это неравенство равносильно системе $ -\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6} $.
В виде интервала: $ x \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}] $.
Ответ: $ x \in [-\sqrt{6}, \sqrt{6}] $.

г) В выражении $ \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} $ должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: $ 9 - x^2 \geq 0 $.
2. Знаменатель не равен нулю: $ x \neq 0 $.
Решим первое неравенство:
$ 9 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 9 \implies -3 \leq x \leq 3 $.
Теперь учтем второе условие $ x \neq 0 $. Исключаем точку 0 из отрезка $ [-3, 3] $.
Получаем объединение двух интервалов: $ [-3, 0) \cup (0, 3] $.
Ответ: $ x \in [-3, 0) \cup (0, 3] $.

д) Для выражения $ \sqrt{\frac{4 - x^2}{x^2 - 1}} $ дробь под корнем должна быть неотрицательна, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$ \frac{4 - x^2}{x^2 - 1} \geq 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Преобразуем его:
$ \frac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 1} \geq 0 $
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} \leq 0 $
$ \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} \leq 0 $
Нанесем на числовую ось нули числителя ($ x = -2, x = 2 $, эти точки включаем) и нули знаменателя ($ x = -1, x = 1 $, эти точки исключаем).
Получим интервалы: $ (-\infty, -2] $, $ [-2, -1) $, $ (-1, 1) $, $ (1, 2] $, $ [2, +\infty) $.
Определим знак выражения в каждом интервале:
При $ x > 2 $, выражение положительно.
При $ x \in (1, 2] $, выражение отрицательно.
При $ x \in (-1, 1) $, выражение положительно.
При $ x \in [-2, -1) $, выражение отрицательно.
При $ x < -2 $, выражение положительно.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Таким образом, $ x \in [-2, -1) \cup (1, 2] $.
Ответ: $ x \in [-2, -1) \cup (1, 2] $.

е) В выражении $ \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - 4} $ должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: $ x^2 - 1 \geq 0 $.
2. Знаменатель не равен нулю: $ x^2 - 4 \neq 0 $.
Решим первое неравенство:
$ x^2 - 1 \geq 0 \implies x^2 \geq 1 $. Это верно при $ x \leq -1 $ или $ x \geq 1 $.
В виде интервалов: $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $.
Решим второе условие:
$ x^2 - 4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.
Теперь объединим оба условия: из множества $ (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $ нужно исключить точки -2 и 2.
Точка $ x = -2 $ принадлежит промежутку $ (-\infty, -1] $, поэтому этот промежуток разбивается на два: $ (-\infty, -2) \cup (-2, -1] $.
Точка $ x = 2 $ принадлежит промежутку $ [1, +\infty) $, поэтому этот промежуток разбивается на два: $ [1, 2) \cup (2, +\infty) $.
Объединяя все, получаем: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup [1, 2) \cup (2, +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup [1, 2) \cup (2, +\infty) $.