Номер 308, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 308, страница 120.

308 a) Найдите все значения $m$, при которых уравнение $mx^2 - 2x + m = 0$ имеет два корня. Из чисел -1,5; -0,5; 0; 0,5; 1,5 выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

б) Найдите все целые значения $m$, при которых уравнение $4mx^2 + 5x + m = 0$ имеет два корня.

а)

Рассмотрим уравнение $mx^2 - 2x + m = 0$.

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо выполнение двух условий:

1. Уравнение должно быть квадратным. Это значит, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $m \neq 0$.

2. Дискриминант $D$ уравнения должен быть строго положительным ($D > 0$).

Вычислим дискриминант. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=m$, $b=-2$, $c=m$ он равен:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot m \cdot m = 4 - 4m^2$.

Решим неравенство $D > 0$:

$4 - 4m^2 > 0$

$4 > 4m^2$

$1 > m^2$ или $m^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < m < 1$.

Объединяя оба условия ($m \neq 0$ и $-1 < m < 1$), получаем искомое множество значений для $m$: $m \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Теперь из чисел $-1,5; -0,5; 0; 0,5; 1,5$ выберем те, которые удовлетворяют этому условию:

• $-1,5$: не удовлетворяет, так как не принадлежит интервалу $(-1, 1)$.
• $-0,5$: удовлетворяет, так как $-1 < -0,5 < 1$ и $-0,5 \neq 0$.
• $0$: не удовлетворяет, так как $m \neq 0$.
• $0,5$: удовлетворяет, так как $-1 < 0,5 < 1$ и $0,5 \neq 0$.
• $1,5$: не удовлетворяет, так как не принадлежит интервалу $(-1, 1)$.

Ответ: $m \in (-1; 0) \cup (0; 1)$; из предложенных чисел условию удовлетворяют $-0,5$ и $0,5$.

б)

Рассмотрим уравнение $4mx^2 + 5x + m = 0$.

Уравнение имеет два различных корня, если оно является квадратным (коэффициент при старшей степени отличен от нуля) и его дискриминант положителен.

1. Условие, что уравнение является квадратным: $4m \neq 0$, следовательно, $m \neq 0$.

2. Вычислим дискриминант $D$. Здесь $a=4m$, $b=5$, $c=m$.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (4m) \cdot m = 25 - 16m^2$.

Решим неравенство $D > 0$:

$25 - 16m^2 > 0$

$25 > 16m^2$

$m^2 < \frac{25}{16}$

Извлекая корень из обеих частей, получаем:

$|m| < \sqrt{\frac{25}{16}}$

$|m| < \frac{5}{4}$ или $|m| < 1,25$.

Это неравенство равносильно $-1,25 < m < 1,25$.

Согласно условию, необходимо найти все целые значения $m$, которые удовлетворяют двум условиям: $-1,25 < m < 1,25$ и $m \neq 0$.

В интервал $(-1,25; 1,25)$ входят следующие целые числа: $-1, 0, 1$.

Исключая $m=0$, получаем искомые значения: $-1$ и $1$.

Ответ: $-1; 1$.