Страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

289 Вычислите абсциссы точек пересечения параболы с осью $x$, изобразите параболу схематически и отметьте на оси $x$ значения аргумента, при которых $y = 0; y < 0; y > 0:$

а) $y = x^2 - 1;$

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2;$

в) $y = x^2 + 4x - 5;$

г) $y = x^2 - 6x + 5;$

д) $y = x^2 - 5x + 6;$

е) $y = -x^2 + x + 2.$

В каждом случае проверьте себя, подставив в формулу какое-нибудь значение $x$ из найденного множества.

а) $y = x^2 - 1$

Для вычисления абсцисс точек пересечения параболы с осью $x$, необходимо решить уравнение $y=0$.
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Это парабола, заданная уравнением $y=ax^2+bx+c$, где $a=1$, $b=0$, $c=-1$. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = 0$; $y_v = 0^2 - 1 = -1$. Вершина находится в точке $(0, -1)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=-1$ и $x=1$.

Исходя из расположения параболы, отметим значения аргумента, при которых $y=0; y<0; y>0$:
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.
$y < 0$ (парабола ниже оси $x$) при $x \in (-1, 1)$.
$y > 0$ (парабола выше оси $x$) при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Проверим себя, подставив значение $x=2$ из множества, где $y>0$:
$y(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Поскольку $3>0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: -1, 1. $y=0$ при $x \in \{-1, 1\}$; $y<0$ при $x \in (-1, 1)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$, решив уравнение $y=0$:
$-\frac{1}{2}x^2 + 2 = 0$
$\frac{1}{2}x^2 = 2$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Это парабола с коэффициентом $a = -\frac{1}{2} < 0$, поэтому ее ветви направлены вниз. Координаты вершины: $x_v = -\frac{0}{2 \cdot (-1/2)} = 0$; $y_v = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2$. Вершина в точке $(0, 2)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=-2$ и $x=2$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
$y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.

Проверка: подставим $x=0$ из множества, где $y>0$:
$y(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2$. Поскольку $2>0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: -2, 2. $y=0$ при $x \in \{-2, 2\}$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$; $y>0$ при $x \in (-2, 2)$.

в) $y = x^2 + 4x - 5$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$ ($y=0$):
$x^2 + 4x - 5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Координаты вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$; $y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. Вершина в точке $(-2, -9)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(-2, -9)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=-5$ и $x=1$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = -5$ и $x = 1$.
$y < 0$ при $x \in (-5, 1)$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

Проверка: подставим $x=0$ из множества, где $y<0$:
$y(0) = 0^2 + 4(0) - 5 = -5$. Поскольку $-5<0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: -5, 1. $y=0$ при $x \in \{-5, 1\}$; $y<0$ при $x \in (-5, 1)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

г) $y = x^2 - 6x + 5$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$ ($y=0$):
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Координаты вершины: $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$; $y_v = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина в точке $(3, -4)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(3, -4)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=1$ и $x=5$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = 1$ и $x = 5$.
$y < 0$ при $x \in (1, 5)$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Проверка: подставим $x=2$ из множества, где $y<0$:
$y(2) = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$. Поскольку $-3<0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: 1, 5. $y=0$ при $x \in \{1, 5\}$; $y<0$ при $x \in (1, 5)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

д) $y = x^2 - 5x + 6$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$ ($y=0$):
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Координаты вершины: $x_v = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$; $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$. Вершина в точке $(2.5, -0.25)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(2.5, -0.25)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=2$ и $x=3$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = 2$ и $x = 3$.
$y < 0$ при $x \in (2, 3)$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Проверка: подставим $x=0$ из множества, где $y>0$:
$y(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$. Поскольку $6>0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: 2, 3. $y=0$ при $x \in \{2, 3\}$; $y<0$ при $x \in (2, 3)$; $y>0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

е) $y = -x^2 + x + 2$

Найдем абсциссы точек пересечения с осью $x$ ($y=0$):
$-x^2 + x + 2 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы направлены вниз ($a=-1<0$). Координаты вершины: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = 0.5$; $y_v = -(0.5)^2 + 0.5 + 2 = -0.25 + 0.5 + 2 = 2.25$. Вершина в точке $(0.5, 2.25)$. Схематически, это парабола с вершиной в точке $(0.5, 2.25)$ и пересекающая ось $x$ в точках $x=-1$ и $x=2$.

Отметим значения аргумента:
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = 2$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.
$y > 0$ при $x \in (-1, 2)$.

Проверка: подставим $x=3$ из множества, где $y<0$:
$y(3) = -(3)^2 + 3 + 2 = -9 + 3 + 2 = -4$. Поскольку $-4<0$, результат верен.

Ответ: Абсциссы точек пересечения: -1, 2. $y=0$ при $x \in \{-1, 2\}$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$; $y>0$ при $x \in (-1, 2)$.

290 a) $x^2 + 4x - 21 < 0;$

б) $x^2 - 4x - 21 > 0;$

в) $x^2 + 10x > 0;$

г) $x^2 - 9 < 0;$

д) $x^2 - 1 > 0;$

е) $x^2 - 4x - 12 < 0.$

а) Решим неравенство $x^2 + 4x - 21 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 + 4x - 21 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-7; 3)$.

Ответ: $(-7; 3)$.

б) Решим неравенство $x^2 - 4x - 21 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = 7$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 21$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 7$.

Неравенство $x^2 - 4x - 21 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (7; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (7; \infty)$.

в) Решим неравенство $x^2 + 10x > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 10x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 10) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -10$.

Ветви параболы $y = x^2 + 10x$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -10$ и $x = 0$.

Неравенство $x^2 + 10x > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -10) \cup (0; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -10) \cup (0; \infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 - 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9 = 0$.

Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 - 9 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-3; 3)$.

Ответ: $(-3; 3)$.

д) Решим неравенство $x^2 - 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 1 = 0$.

Разложим на множители: $(x - 1)(x + 1) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 - 1$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 1$.

Неравенство $x^2 - 1 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

е) Решим неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 12$ направлены вверх ($a=1 > 0$), она пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 6$.

Неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2; 6)$.

Ответ: $(-2; 6)$.

291 a) $4 - x^2 > 0;$

б) $-x^2 + 6x + 7 > 0;$

в) $1 - x^2 < 0;$

г) $2x^2 - 4x + 2 \ge 0;$

д) $-2x^2 + 10x - 8 \le 0;$

е) $-4x^2 + 2x \ge 0.$

а) Для решения квадратичного неравенства $4 - x^2 > 0$ сначала найдем корни соответствующего уравнения $4 - x^2 = 0$.
Это уравнение эквивалентно $x^2 = 4$, откуда получаем два корня: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Далее рассмотрим функцию $y = 4 - x^2$. Ее графиком является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз.
Неравенство $y > 0$ выполняется на том промежутке, где график функции находится выше оси абсцисс (оси Ox). Для параболы с ветвями вниз это интервал между корнями.
Так как неравенство строгое ($>$), сами корни в решение не входят.
Следовательно, решением является интервал от -2 до 2.
Ответ: $x \in (-2, 2)$.

б) Решим неравенство $-x^2 + 6x + 7 > 0$.
Для удобства умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $x^2 - 6x - 7 < 0$.
Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$.
$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$, $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.
Поскольку неравенство строгое, концы интервала не включаются.
Ответ: $x \in (-1, 7)$.

в) Решим неравенство $1 - x^2 < 0$.
Найдем корни уравнения $1 - x^2 = 0$, откуда $x^2 = 1$, и $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = 1 - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз.
Неравенство $y < 0$ истинно для тех $x$, при которых график параболы расположен ниже оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.
Неравенство строгое, поэтому значения $x = -1$ и $x = 1$ не являются решениями.
Таким образом, решение: $x < -1$ или $x > 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

г) Решим неравенство $2x^2 - 4x + 2 \ge 0$.
Разделим обе части неравенства на 2, чтобы упростить его: $x^2 - 2x + 1 \ge 0$.
Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом: $(x-1)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю.
Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

д) Решим неравенство $-2x^2 + 10x - 8 \le 0$.
Разделим обе части на -2, не забыв изменить знак неравенства на противоположный: $x^2 - 5x + 4 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола с ветвями вверх.
Неравенство $y \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше или на оси Ox. Это происходит при $x \le 1$ и при $x \ge 4$.
Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

е) Решим неравенство $-4x^2 + 2x \ge 0$.
Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства: $2x^2 - x \le 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(2x - 1) \le 0$.
Найдем корни уравнения $x(2x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 0.5$.
Графиком функции $y = 2x^2 - x$ является парабола с ветвями вверх.
Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, где парабола находится ниже или на оси Ox.
Неравенство нестрогое, поэтому концы отрезка включаются в решение.
Таким образом, решение: $0 \le x \le 0.5$.
Ответ: $x \in [0, 0.5]$.

292 a) $x^2 + 3 > 0;$

Д) $2x^2 + 4x + 2 \ge 0;$

б) $-x^2 - 2 \le 0;$

е) $x^2 - 6x + 9 < 0;$

В) $x^2 - 4x + 7 \le 0;$

ж) $-3x^2 \le 0;$

Г) $-x^2 + 4x - 5 \ge 0;$

з) $2x^2 > 0.$

а) $x^2 + 3 > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Если к неотрицательному числу прибавить 3, результат всегда будет больше или равен 3. $x^2 + 3 \ge 3$. Поскольку $3 > 0$, то и $x^2 + 3 > 0$ для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-x^2 - 2 \le 0$

Рассмотрим выражение $-x^2 - 2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть 2, результат будет меньше или равен -2. $-x^2 - 2 \le -2$. Поскольку $-2 \le 0$, то и $-x^2 - 2 \le 0$ для любого действительного числа $x$. Другой способ - умножить неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 + 2 \ge 0$. Это неравенство верно для всех $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $x^2 + 2 \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $x^2 - 4x + 7 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 7$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 4x + 7 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола лежит выше оси Ox. Таким образом, выражение $x^2 - 4x + 7$ всегда положительно. Неравенство $x^2 - 4x + 7 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю, что невозможно.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

г) $-x^2 + 4x - 5 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 4x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$). Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4$. Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола лежит ниже оси Ox. Таким образом, выражение $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно. Неравенство $-x^2 + 4x - 5 > 0$ требует, чтобы выражение было положительным, что невозможно.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

д) $2x^2 + 4x + 2 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 2 (так как $2 > 0$, знак неравенства не меняется): $x^2 + 2x + 1 \ge 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x+1)^2$. Неравенство принимает вид $(x+1)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

е) $x^2 - 6x + 9 < 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $(x-3)^2$. Неравенство принимает вид $(x-3)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых выражение $(x-3)^2$ было бы строго меньше нуля.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

ж) $-3x^2 \le 0$

Разделим обе части неравенства на -3, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

з) $2x^2 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2: $x^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, $x^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $x=0$. Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

293 а) $x^2 < 25;$

б) $x^2 \ge \frac{1}{4};$

в) $-2x^2 < -18;$

г) $x^2 + 1 \ge 5;$

д) $x^2 \le x;$

е) $2x > x^2;$

ж) $x < x^2;$

з) $0,5x^2 > -3x;$

и) $9 \le x^2;$

к) $\frac{1}{2}x^2 < 50;$

л) $-x^2 \ge -100;$

м) $6,4 > 0,1x^2.$

а) $x^2 < 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить $x^2 - 25 < 0$.

Рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 25 = 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-5)(x+5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Поскольку неравенство имеет вид $x^2 - 25 < 0$, а ветви параболы $y = x^2 - 25$ направлены вверх, решением является интервал между корнями.

Таким образом, $x$ должен быть в интервале $(-5; 5)$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.

б) $x^2 \geq \frac{1}{4}$

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - \frac{1}{4} \geq 0$.

Решим уравнение $x^2 - \frac{1}{4} = 0$. Разложим на множители: $(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - \frac{1}{4}$ направлены вверх. Неравенство $\geq 0$ выполняется на интервалах, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $x \leq -\frac{1}{2}$ или $x \geq \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup [0,5; +\infty)$.

в) $-2x^2 < -18$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x^2 > 9$.

Перенесем 9 в левую часть: $x^2 - 9 > 0$.

Решим уравнение $x^2 - 9 = 0$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Следовательно, $x < -3$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

г) $x^2 + 1 \geq 5$

Перенесем 5 в левую часть: $x^2 + 1 - 5 \geq 0$, что упрощается до $x^2 - 4 \geq 0$.

Решим уравнение $x^2 - 4 = 0$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх. Неравенство $\geq 0$ выполняется на интервалах вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $x \leq -2$ или $x \geq 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

д) $x^2 \leq x$

Перенесем $x$ в левую часть: $x^2 - x \leq 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) \leq 0$.

Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх. Неравенство $\leq 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $0 \leq x \leq 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.

е) $2x > x^2$

Перенесем все члены в одну сторону: $0 > x^2 - 2x$, или $x^2 - 2x < 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 2) < 0$.

Корни уравнения $x(x - 2) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

ж) $x < x^2$

Перенесем все члены в одну сторону: $0 < x^2 - x$, или $x^2 - x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) > 0$.

Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Следовательно, $x < 0$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

з) $0,5x^2 > -3x$

Перенесем $-3x$ в левую часть: $0,5x^2 + 3x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(0,5x + 3) > 0$.

Корни уравнения $x(0,5x + 3) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.

Ветви параболы $y = 0,5x^2 + 3x$ направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Следовательно, $x < -6$ или $x > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$.

и) $9 \leq x^2$

Это неравенство эквивалентно $x^2 \geq 9$.

Перенесем 9 в левую часть: $x^2 - 9 \geq 0$.

Корни уравнения $x^2 - 9 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх. Неравенство $\geq 0$ выполняется на интервалах вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $x \leq -3$ или $x \geq 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

к) $\frac{1}{2}x^2 < 50$

Умножим обе части на 2: $x^2 < 100$.

Перенесем 100 в левую часть: $x^2 - 100 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 100 = 0$ равны $x_1 = -10$ и $x_2 = 10$.

Ветви параболы $y = x^2 - 100$ направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, $-10 < x < 10$.

Ответ: $x \in (-10; 10)$.

л) $-x^2 \geq -100$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 \leq 100$.

Перенесем 100 в левую часть: $x^2 - 100 \leq 0$.

Корни уравнения $x^2 - 100 = 0$ равны $x_1 = -10$ и $x_2 = 10$.

Ветви параболы $y = x^2 - 100$ направлены вверх. Неравенство $\leq 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, $-10 \leq x \leq 10$.

Ответ: $x \in [-10; 10]$.

м) $6,4 > 0,1x^2$

Это неравенство эквивалентно $0,1x^2 < 6,4$.

Умножим обе части на 10: $x^2 < 64$.

Перенесем 64 в левую часть: $x^2 - 64 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 64 = 0$ равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 8$.

Ветви параболы $y = x^2 - 64$ направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, $-8 < x < 8$.

Ответ: $x \in (-8; 8)$.

294 а) $3x^2 - 10x + 4 < 1;$

б) $-3x^2 + 7x + 4 < -2;$

В) $-5x^2 + 4x + 11 > 10;$

Г) $6x^2 + 7x - 2 > -3.$

а)

Решим неравенство $3x^2 - 10x + 4 < 1$.

Сначала приведем неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c < 0$, перенеся все члены в левую часть:

$3x^2 - 10x + 4 - 1 < 0$

$3x^2 - 10x + 3 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Мы решаем неравенство $3x^2 - 10x + 3 < 0$. График функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = 3 > 0$. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(1/3, 3)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, 3)$.

б)

Решим неравенство $-3x^2 + 7x + 4 < -2$.

Приведем неравенство к стандартному виду:

$-3x^2 + 7x + 4 + 2 < 0$

$-3x^2 + 7x + 6 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$3x^2 - 7x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Мы решаем неравенство $3x^2 - 7x - 6 > 0$. График функции $y = 3x^2 - 7x - 6$ — парабола с ветвями вверх ($a = 3 > 0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение интервалов $(-\infty, -2/3)$ и $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

в)

Решим неравенство $-5x^2 + 4x + 11 > 10$.

Приведем неравенство к стандартному виду:

$-5x^2 + 4x + 11 - 10 > 0$

$-5x^2 + 4x + 1 > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$5x^2 - 4x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Мы решаем неравенство $5x^2 - 4x - 1 < 0$. График функции $y = 5x^2 - 4x - 1$ — парабола с ветвями вверх ($a = 5 > 0$). Значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-1/5, 1)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{5}, 1)$.

г)

Решим неравенство $6x^2 + 7x - 2 > -3$.

Приведем неравенство к стандартному виду:

$6x^2 + 7x - 2 + 3 > 0$

$6x^2 + 7x + 1 > 0$

Найдем корни уравнения $6x^2 + 7x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Мы решаем неравенство $6x^2 + 7x + 1 > 0$. График функции $y = 6x^2 + 7x + 1$ — парабола с ветвями вверх ($a = 6 > 0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение интервалов $(-\infty, -1)$ и $(-1/6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{6}, +\infty)$.

295 a) $(x - 1)(x - 3) \le 0;$

б) $(x + 5)(x - 2) > 0;$

в) $(2x + 6)(x + 4) \ge 0;$

г) $(3x - 3)(x + 1) < 0;$

д) $2x(x - 10) > 0;$

е) $x(2x + 3) \le 0.$

а) Решим неравенство $(x - 1)(x - 3) \le 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x - 3) = 0$.
Корни: $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$; $x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; 1)$, возьмём $x=0$: $(0 - 1)(0 - 3) = 3 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (1; 3)$, возьмём $x=2$: $(2 - 1)(2 - 3) = -1 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (3; +\infty)$, возьмём $x=4$: $(4 - 1)(4 - 3) = 3 > 0$. Знак "+".
4. Поскольку неравенство имеет вид $\le 0$, нас интересуют интервалы со знаком "-" и точки, где выражение равно нулю. Это интервал $(1; 3)$ и его концы.
Решением является отрезок $[1; 3]$.
Ответ: $x \in [1; 3]$.

б) Решим неравенство $(x + 5)(x - 2) > 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $(x + 5)(x - 2) = 0$.
Корни: $x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5$; $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$.
2. Отметим эти точки на числовой оси (точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое). Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 2)$ и $(2; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; -5)$, возьмём $x=-6$: $(-6 + 5)(-6 - 2) = (-1)(-8) = 8 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (-5; 2)$, возьмём $x=0$: $(0 + 5)(0 - 2) = -10 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (2; +\infty)$, возьмём $x=3$: $(3 + 5)(3 - 2) = 8 > 0$. Знак "+".
4. Поскольку неравенство имеет вид $> 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+".
Решением является объединение интервалов $(-\infty; -5)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $(2x + 6)(x + 4) \ge 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $(2x + 6)(x + 4) = 0$.
Корни: $2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x_1 = -3$; $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$.
2. Отметим точки $-4$ и $-3$ на числовой оси. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$ и $(-3; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; -4)$, возьмём $x=-5$: $(2(-5) + 6)(-5 + 4) = (-4)(-1) = 4 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (-4; -3)$, возьмём $x=-3.5$: $(2(-3.5) + 6)(-3.5 + 4) = (-1)(0.5) = -0.5 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (-3; +\infty)$, возьмём $x=0$: $(2(0) + 6)(0 + 4) = 24 > 0$. Знак "+".
4. Поскольку неравенство имеет вид $\ge 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+" и точки, где выражение равно нулю.
Решением является объединение лучей $(-\infty; -4]$ и $[-3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-3; \infty)$.

г) Решим неравенство $(3x - 3)(x + 1) < 0$ методом интервалов.
1. Вынесем общий множитель в первой скобке: $3(x - 1)(x + 1) < 0$. Разделим обе части на 3 (знак неравенства не изменится): $(x - 1)(x + 1) < 0$.
2. Найдём корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$.
Корни: $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$; $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
3. Отметим точки $-1$ и $1$ на числовой оси (точки "выколотые"). Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.
4. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; -1)$, возьмём $x=-2$: $(-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (-1; 1)$, возьмём $x=0$: $(0 - 1)(0 + 1) = -1 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (1; +\infty)$, возьмём $x=2$: $(2 - 1)(2 + 1) = 3 > 0$. Знак "+".
5. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), нас интересует интервал со знаком "-".
Решением является интервал $(-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

д) Решим неравенство $2x(x - 10) > 0$.
1. Разделим обе части на 2: $x(x - 10) > 0$.
2. Найдём корни уравнения $x(x - 10) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$; $x - 10 = 0 \Rightarrow x_2 = 10$.
3. Отметим точки $0$ и $10$ на числовой оси (точки "выколотые"). Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 10)$ и $(10; +\infty)$.
4. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; 0)$, возьмём $x=-1$: $(-1)(-1 - 10) = 11 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (0; 10)$, возьмём $x=1$: $1(1 - 10) = -9 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (10; +\infty)$, возьмём $x=11$: $11(11 - 10) = 11 > 0$. Знак "+".
5. Поскольку неравенство строгое ($> 0$), нас интересуют интервалы со знаком "+".
Решением является объединение интервалов $(-\infty; 0)$ и $(10; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (10; \infty)$.

е) Решим неравенство $x(2x + 3) \le 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $x(2x + 3) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$; $2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x_2 = -1.5$.
2. Отметим точки $-1.5$ и $0$ на числовой оси. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 0)$ и $(0; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; -1.5)$, возьмём $x=-2$: $(-2)(2(-2) + 3) = (-2)(-1) = 2 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (-1.5; 0)$, возьмём $x=-1$: $(-1)(2(-1) + 3) = (-1)(1) = -1 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (0; +\infty)$, возьмём $x=1$: $1(2(1) + 3) = 5 > 0$. Знак "+".
4. Поскольку неравенство имеет вид $\le 0$, нас интересуют интервал со знаком "-" и точки, где выражение равно нулю.
Решением является отрезок $[-1.5; 0]$.
Ответ: $x \in [-1.5; 0]$.