Страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

В задачах 285–286 воспользуйтесь схематическими графиками.

286. Площадь прямоугольника $S$ с периметром, равным 16 см, является функцией длины его основания $x$. Задайте эту функцию формулой. Определите, при каком значении $x$ функция принимает наибольшее значение. Дайте геометрическое истолкование вашего ответа.

285. ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Высота $h$ (в метрах), на которую поднимется мяч, в зависимости от времени $t$ (в секундах) описывается квадратичной функцией, основанной на законе движения тела, брошенного вертикально вверх: $h(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$.

В этой формуле $v_0$ — начальная скорость, а $g$ — ускорение свободного падения. По условию задачи $v_0 = 15$ м/c. Примем $g \approx 10$ м/с².

Таким образом, функция высоты имеет вид: $h(t) = 15t - \frac{10t^2}{2} = 15t - 5t^2$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный, равен -5). Максимальное значение функции достигается в вершине параболы.

Найдем время $t_в$, в которое достигается максимальная высота. Это абсцисса вершины параболы $y = at^2 + bt + c$, которая вычисляется по формуле $t_в = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -5$ и $b = 15$.

$t_в = -\frac{15}{2 \cdot (-5)} = -\frac{15}{-10} = 1.5$ с.

Теперь найдем максимальную высоту $h_{max}$, подставив значение $t_в = 1.5$ с в нашу функцию:

$h_{max} = h(1.5) = 15 \cdot (1.5) - 5 \cdot (1.5)^2 = 22.5 - 5 \cdot 2.25 = 22.5 - 11.25 = 11.25$ м.

Ответ: мяч поднимется на максимальную высоту 11,25 м.

286

1. Задание функции формулой.

Пусть $x$ — длина основания прямоугольника (в см), а $y$ — длина его второй стороны (в см). Периметр прямоугольника $P$ равен $P = 2(x+y)$. По условию, $P=16$ см.

$2(x+y) = 16$

$x+y = 8$

Отсюда выразим $y$ через $x$: $y = 8-x$.

Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$ и вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Подставим выражение для $y$:

$S(x) = x(8-x) = 8x - x^2$.

Итак, искомая формула: $S(x) = -x^2 + 8x$.

2. Определение значения $x$, при котором функция принимает наибольшее значение.

Функция $S(x) = -x^2 + 8x$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$). Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $x_в$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a = -1$ и $b = 8$.

$x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Следовательно, функция площади принимает наибольшее значение при $x = 4$ см.

3. Геометрическое истолкование.

Мы выяснили, что площадь максимальна, когда длина основания $x = 4$ см. Найдем длину второй стороны $y$:

$y = 8 - x = 8 - 4 = 4$ см.

Так как $x=y=4$ см, то стороны прямоугольника равны. Это означает, что прямоугольник является квадратом.

Геометрическое истолкование: из всех прямоугольников с заданным периметром (в данном случае 16 см) наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ: функция $S(x) = 8x - x^2$ принимает наибольшее значение при $x=4$. Геометрическое истолкование состоит в том, что из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат со стороной 4 см.

287 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 8. Задайте формулой зависимость площади $S$ прямоугольного треугольника от длины катета $x$ (рис. 2.40). Определите, при каком значении $x$ треугольник имеет наибольшую площадь. Дайте геометрическое истолкование вашего ответа.

$8 - x$

$x$

Рис. 2.40

Задайте формулой зависимость площади S прямоугольного треугольника от длины катета x

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. По условию задачи, их сумма равна 8: $a + b = 8$.

Обозначим длину одного катета через $x$. Исходя из рисунка и условия, один катет равен $x$, а второй $8 - x$. Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

Подставив выражения для катетов, получим зависимость площади $S$ от $x$: $S(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (8 - x)$.

Так как длина катета должна быть положительной величиной, то $x > 0$ и $8 - x > 0$, что означает $x < 8$. Таким образом, область определения для $x$ есть интервал $(0; 8)$.

Ответ: $S(x) = \frac{1}{2}x(8-x)$, где $0 < x < 8$.

Определите, при каком значении x треугольник имеет наибольшую площадь

Функция площади $S(x) = \frac{1}{2}x(8-x) = 4x - \frac{1}{2}x^2$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, что меньше нуля).

Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы. Абсциссу вершины $x_0$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где в нашем случае $a = -\frac{1}{2}$ и $b = 4$. $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{4}{-1} = 4$.

Значение $x=4$ входит в область определения $(0; 8)$. Таким образом, при $x=4$ площадь треугольника достигает своего максимума. Наибольшая площадь равна: $S_{max} = S(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (8 - 4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Ответ: треугольник имеет наибольшую площадь при $x=4$.

Дайте геометрическое истолкование вашего ответа

Мы установили, что площадь треугольника максимальна, когда один из катетов $x=4$. Найдем длину второго катета: $8 - x = 8 - 4 = 4$.

Оба катета равны 4. Это означает, что прямоугольный треугольник с наибольшей площадью является равнобедренным. Таким образом, геометрический смысл результата заключается в том, что из всех прямоугольных треугольников с одинаковой суммой катетов наибольшую площадь имеет тот, у которого катеты равны, то есть равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: из всех прямоугольных треугольников с заданной суммой катетов наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.

288 Исследуем

Исследуйте, как влияет на график изменение одного из коэффициентов a, b и c в уравнении параболы. Для этого:

1) в одной системе координат начертите параболы $y=x^2-4x+c$ для $c=0; 1; 2; 4$ и $c=-1; -2; -4;$

2) в одной системе координат начертите параболы $y=x^2+bx+4$ для $b=0; 1; 4; 5$ и $b=-1; -4; -5;$

3) в одной системе координат начертите параболы $y=ax^2+4x-5$ для $a=\frac{1}{2}; 1; 2; 3.$

Исследуем влияние каждого из коэффициентов $a, b, c$ в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$ на ее график.

1)

Рассмотрим семейство парабол, заданных уравнением $y = x^2 - 4x + c$. В данном случае коэффициенты $a=1$ и $b=-4$ являются постоянными, изменяется только свободный член $c$.

Форма и направление ветвей параболы определяются коэффициентом $a$. Так как $a=1$ для всех графиков, все параболы будут иметь одинаковую форму и их ветви будут направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_v = (2)^2 - 4(2) + c = 4 - 8 + c = c - 4$.

Координаты вершины: $(2, c-4)$.

Абсцисса вершины $x_v=2$ не зависит от $c$, это означает, что ось симметрии для всех парабол этого семейства одна и та же — прямая $x=2$. Ордината вершины $y_v = c-4$ зависит от $c$.

Коэффициент $c$ также является ординатой точки пересечения графика с осью $Oy$, так как при $x=0$, $y=c$.

Таким образом, изменение коэффициента $c$ приводит к сдвигу (параллельному переносу) параболы $y = x^2 - 4x$ вдоль оси ординат $Oy$. Если $c$ увеличивается, парабола сдвигается вверх. Если $c$ уменьшается, парабола сдвигается вниз.

Например:

• При $c=0$, $y = x^2 - 4x$, вершина в точке $(2, -4)$.
• При $c=4$, $y = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$, вершина в точке $(2, 0)$. График смещен на 4 единицы вверх по сравнению с $c=0$.
• При $c=-1$, $y = x^2 - 4x - 1$, вершина в точке $(2, -5)$. График смещен на 1 единицу вниз по сравнению с $c=0$.

Все параболы этого семейства получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси $Oy$.

Ответ: Коэффициент $c$ отвечает за вертикальное смещение графика параболы. Изменение $c$ сдвигает параболу вверх или вниз вдоль ее оси симметрии, не меняя ее формы и направления ветвей. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, c)$.

2)

Рассмотрим семейство парабол, заданных уравнением $y = x^2 + bx + 4$. Здесь коэффициенты $a=1$ и $c=4$ постоянны, а изменяется коэффициент $b$.

Так как $a=1$ для всех парабол, они имеют одинаковую форму и их ветви направлены вверх. Так как $c=4$ для всех парабол, все они пересекают ось $Oy$ в одной и той же точке $(0, 4)$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{b}{2 \cdot 1} = -\frac{b}{2}$.

$y_v = (-\frac{b}{2})^2 + b(-\frac{b}{2}) + 4 = \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{2} + 4 = 4 - \frac{b^2}{4}$.

Координаты вершины: $(-\frac{b}{2}, 4 - \frac{b^2}{4})$.

В отличие от предыдущего случая, обе координаты вершины зависят от $b$. Это означает, что при изменении $b$ парабола смещается как по горизонтали, так и по вертикали. Ось симметрии $x = -b/2$ также смещается.

Найдем зависимость между координатами вершины. Пусть $x = x_v = -b/2$ и $y = y_v = 4 - b^2/4$. Из первого уравнения выразим $b = -2x$ и подставим во второе: $y = 4 - \frac{(-2x)^2}{4} = 4 - \frac{4x^2}{4} = 4 - x^2$.

Это означает, что вершины всех парабол данного семейства лежат на параболе $y = -x^2 + 4$.

Ответ: Коэффициент $b$ влияет на положение вершины параболы. При изменении $b$ парабола, не меняя своей формы и точки пересечения с осью $Oy$, "скользит" своей вершиной по параболе $y = -x^2 + 4$. Изменение $b$ приводит к смещению оси симметрии параболы.

3)

Рассмотрим семейство парабол, заданных уравнением $y = ax^2 + 4x - 5$. Здесь коэффициенты $b=4$ и $c=-5$ постоянны, а изменяется старший коэффициент $a$.

Коэффициент $a$ определяет форму параболы (ее "ширину") и направление ветвей. Поскольку в задании даны только положительные значения $a$ ($1/2, 1, 2, 3$), все параболы будут иметь ветви, направленные вверх.

• Чем больше значение $a$, тем "уже" и "круче" становится парабола (происходит ее растяжение вдоль оси $Oy$).
• Чем меньше значение $a$ (ближе к нулю), тем "шире" и "положе" становится парабола (происходит ее сжатие к оси $Ox$).

Поскольку $c=-5$ для всех парабол, все они пересекают ось $Oy$ в одной и той же точке $(0, -5)$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2a} = -\frac{2}{a}$.

$y_v = a(-\frac{2}{a})^2 + 4(-\frac{2}{a}) - 5 = a(\frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a} - 5 = \frac{4}{a} - \frac{8}{a} - 5 = -\frac{4}{a} - 5$.

Координаты вершины: $(-\frac{2}{a}, -\frac{4}{a} - 5)$.

Обе координаты вершины зависят от $a$. Найдем траекторию движения вершины. Пусть $x = x_v = -2/a$ и $y = y_v = -4/a - 5$. Из первого уравнения $1/a = -x/2$. Подставим во второе: $y = -4(-x/2) - 5 = 2x - 5$.

Это означает, что вершины всех парабол данного семейства лежат на прямой $y = 2x - 5$.

Ответ: Коэффициент $a$ определяет форму ("ширину") и направление ветвей параболы. При $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз. Чем больше $|a|$, тем парабола "уже". Все параболы семейства $y = ax^2 + 4x - 5$ проходят через точку $(0, -5)$, а их вершины лежат на прямой $y=2x-5$.