Страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

263 Вычислите координаты вершины параболы:

а) $y = x^2 - 4x + 2$;

б) $y = x^2 + 18x - 6$;

в) $y = 2x^2 - 6x + 2$;

г) $y = -3x^2 + 6x + 5$.

Для вычисления координат вершины параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, используются следующие формулы:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой найденного значения $x_0$ в исходное уравнение параболы: $y_0 = y(x_0)$.

а) $y = x^2 - 4x + 2$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -4$, $c = 2$.

1. Находим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

2. Находим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в уравнение параболы:

$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$.

Координаты вершины параболы: $(2, -2)$.

Ответ: $(2, -2)$.

б) $y = x^2 + 18x - 6$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 18$, $c = -6$.

1. Находим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2 \cdot 1} = -9$.

2. Находим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0 = -9$ в уравнение параболы:

$y_0 = (-9)^2 + 18(-9) - 6 = 81 - 162 - 6 = -87$.

Координаты вершины параболы: $(-9, -87)$.

Ответ: $(-9, -87)$.

в) $y = 2x^2 - 6x + 2$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -6$, $c = 2$.

1. Находим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

2. Находим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0 = 1.5$ в уравнение параболы:

$y_0 = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 2 = 2(2.25) - 9 + 2 = 4.5 - 9 + 2 = -2.5$.

Координаты вершины параболы: $(1.5, -2.5)$.

Ответ: $(1.5, -2.5)$.

г) $y = -3x^2 + 6x + 5$

В данном уравнении коэффициенты: $a = -3$, $b = 6$, $c = 5$.

1. Находим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$.

2. Находим ординату вершины $y_0$, подставив $x_0 = 1$ в уравнение параболы:

$y_0 = -3(1)^2 + 6(1) + 5 = -3 + 6 + 5 = 8$.

Координаты вершины параболы: $(1, 8)$.

Ответ: $(1, 8)$.

264 Укажите направление ветвей параболы, вычислите координаты вершины и покажите схематически расположение параболы в координатной плоскости:

а) $y = x^2 - 4x + 3;$

б) $y = -2x^2 + 2x - 1;$

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 8x + 34;$

г) $y = -x^2 - 14x - 48.$

а) $y = x^2 - 4x + 3$

1. Направление ветвей.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$. Поскольку коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение параболы:
$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

3. Схематическое расположение.
Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, которая расположена в IV координатной четверти. Ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось ординат OY в точке $(0, c)$, то есть в точке $(0, 3)$. Поскольку вершина находится ниже оси абсцисс OX, а ветви направлены вверх, парабола пересекает ось OX в двух точках.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(2, -1)$. Схематически парабола расположена с вершиной в IV четверти, ветвями вверх, пересекает ось OY в точке $(0, 3)$.

б) $y = -2x^2 + 2x - 1$

1. Направление ветвей.
В данном уравнении $a = -2$, $b = 2$, $c = -1$. Поскольку коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.
Вычисляем абсциссу вершины $x_0$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = -\frac{2}{-4} = \frac{1}{2}$.
Вычисляем ординату вершины $y_0$:
$y_0 = y(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 1 = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

3. Схематическое расположение.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, которая расположена в III координатной четверти. Ветви направлены вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, -1)$. Поскольку вершина находится ниже оси OX и ветви направлены вниз, парабола не пересекает ось OX.

Ответ: Ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Схематически парабола полностью расположена под осью OX, с вершиной в III четверти.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 + 8x + 34$

1. Направление ветвей.
Здесь $a = \frac{1}{2}$, $b = 8$, $c = 34$. Поскольку коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Вычисляем абсциссу вершины $x_0$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{8}{1} = -8$.
Вычисляем ординату вершины $y_0$:
$y_0 = y(-8) = \frac{1}{2}(-8)^2 + 8(-8) + 34 = \frac{1}{2}(64) - 64 + 34 = 32 - 64 + 34 = 2$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-8, 2)$.

3. Схематическое расположение.
Вершина параболы находится в точке $(-8, 2)$, которая расположена во II координатной четверти. Ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 34)$. Поскольку вершина находится над осью OX и ветви направлены вверх, парабола не пересекает ось OX.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(-8, 2)$. Схематически парабола полностью расположена над осью OX, с вершиной во II четверти.

г) $y = -x^2 - 14x - 48$

1. Направление ветвей.
Здесь $a = -1$, $b = -14$, $c = -48$. Поскольку коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.
Вычисляем абсциссу вершины $x_0$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-14}{-2} = -7$.
Вычисляем ординату вершины $y_0$:
$y_0 = y(-7) = -(-7)^2 - 14(-7) - 48 = -49 + 98 - 48 = 1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-7, 1)$.

3. Схематическое расположение.
Вершина параболы находится в точке $(-7, 1)$, которая расположена во II координатной четверти. Ветви направлены вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, -48)$. Поскольку вершина находится над осью OX, а ветви направлены вниз, парабола пересекает ось OX в двух точках (между $x=-7$ и $x=0$, и при $x < -7$). Точки пересечения с осью OX: $x_1=-8$ и $x_2=-6$.

Ответ: Ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $(-7, 1)$. Схематически парабола расположена с вершиной во II четверти, ветвями вниз, пересекает ось OX в точках $(-8, 0)$ и $(-6, 0)$.

265 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПЛАНУ Постройте график функции:

а) $y = 2x^2 - 4x + 5$;

б) $y = x^2 + 4x + 6$;

в) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4x - 9$;

г) $y = -x^2 + 6x - 10$.

Воспользуйтесь следующим планом:

1) найдите координаты вершины параболы;

2) отметьте вершину в координатной плоскости и проведите ось симметрии параболы;

3) определите направление ветвей;

4) вычислите координаты нескольких точек параболы и отметьте их в координатной плоскости;

5) проведите параболу.

Для построения графика функции $y = 2x^2 - 4x + 5$ следуем плану. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a=2, b=-4, c=5$.

1) Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ордината вершины $y_0$ — это значение функции в точке $x_0$.
$y_0 = y(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

2) Отметим вершину и проведем ось симметрии.
Вершина параболы — точка $(1, 3)$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Ее уравнение: $x = 1$.

3) Определим направление ветвей.
Старший коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4) Вычислим координаты нескольких точек.
Найдем точку пересечения графика с осью $OY$, подставив $x=0$:
$y(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 5 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.
Точка, симметричная точке $(0, 5)$ относительно оси симметрии $x=1$, имеет абсциссу $2x_0 - 0 = 2 \cdot 1 - 0 = 2$. Координаты симметричной точки: $(2, 5)$.
Итак, у нас есть следующие точки для построения: вершина $(1, 3)$ и точки $(0, 5)$, $(2, 5)$.

5) Проведем параболу.
Отметив найденные точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график параболы.

Ответ: Парабола с вершиной в точке $(1, 3)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии: $x=1$. График проходит через точки $(0, 5)$ и $(2, 5)$.

Построим график функции $y = x^2 + 4x + 6$. Это парабола. Коэффициенты: $a=1, b=4, c=6$.

1) Найдем координаты вершины параболы.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$.

2) Отметим вершину и проведем ось симметрии.
Вершина параболы — точка $(-2, 2)$. Ось симметрии: $x = -2$.

3) Определим направление ветвей.
Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4) Вычислим координаты нескольких точек.
При $x=0$, $y(0) = 0^2 + 4(0) + 6 = 6$. Точка пересечения с осью $OY$: $(0, 6)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=-2$ имеет абсциссу $2x_0 - 0 = 2 \cdot (-2) - 0 = -4$. Координаты: $(-4, 6)$.
При $x=-1$, $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 6 = 1 - 4 + 6 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
Симметричная ей точка: $x = 2(-2) - (-1) = -3$. Координаты: $(-3, 3)$.

5) Проведем параболу.
Отметив вершину $(-2, 2)$ и точки $(0, 6)$, $(-4, 6)$, $(-1, 3)$, $(-3, 3)$, соединим их плавной кривой.

Ответ: Парабола с вершиной в точке $(-2, 2)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии: $x=-2$. График проходит через точки $(0, 6)$, $(-4, 6)$, $(-1, 3)$ и $(-3, 3)$.

Построим график функции $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4x - 9$. Это парабола. Коэффициенты: $a=-\frac{1}{2}, b=-4, c=-9$.

1) Найдем координаты вершины параболы.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{-4}{-1} = -4$.
$y_0 = y(-4) = -\frac{1}{2}(-4)^2 - 4(-4) - 9 = -\frac{1}{2}(16) + 16 - 9 = -8 + 16 - 9 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(-4, -1)$.

2) Отметим вершину и проведем ось симметрии.
Вершина параболы — точка $(-4, -1)$. Ось симметрии: $x = -4$.

3) Определим направление ветвей.
Коэффициент $a = -\frac{1}{2} < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4) Вычислим координаты нескольких точек.
При $x=0$, $y(0) = -9$. Точка пересечения с осью $OY$: $(0, -9)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=-4$ имеет абсциссу $2(-4) - 0 = -8$. Координаты: $(-8, -9)$.
При $x=-2$, $y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 - 4(-2) - 9 = -2 + 8 - 9 = -3$. Точка $(-2, -3)$.
Симметричная ей точка: $x = 2(-4) - (-2) = -6$. Координаты: $(-6, -3)$.

5) Проведем параболу.
Отметив вершину $(-4, -1)$ и точки $(0, -9)$, $(-8, -9)$, $(-2, -3)$, $(-6, -3)$, соединим их плавной кривой.

Ответ: Парабола с вершиной в точке $(-4, -1)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии: $x=-4$. График проходит через точки $(0, -9)$, $(-8, -9)$, $(-2, -3)$ и $(-6, -3)$.

Построим график функции $y = -x^2 + 6x - 10$. Это парабола. Коэффициенты: $a=-1, b=6, c=-10$.

1) Найдем координаты вершины параболы.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.
$y_0 = y(3) = -(3)^2 + 6(3) - 10 = -9 + 18 - 10 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(3, -1)$.

2) Отметим вершину и проведем ось симметрии.
Вершина параболы — точка $(3, -1)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3) Определим направление ветвей.
Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4) Вычислим координаты нескольких точек.
При $x=0$, $y(0) = -10$. Точка пересечения с осью $OY$: $(0, -10)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=3$: $x = 2(3) - 0 = 6$. Координаты: $(6, -10)$.
При $x=2$, $y(2) = -(2)^2 + 6(2) - 10 = -4 + 12 - 10 = -2$. Точка $(2, -2)$.
Симметричная ей точка: $x = 2(3) - 2 = 4$. Координаты: $(4, -2)$.

5) Проведем параболу.
Отметив вершину $(3, -1)$ и точки $(0, -10)$, $(6, -10)$, $(2, -2)$, $(4, -2)$, соединим их плавной кривой.

Ответ: Парабола с вершиной в точке $(3, -1)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии: $x=3$. График проходит через точки $(0, -10)$, $(6, -10)$, $(2, -2)$ и $(4, -2)$.