Страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

248 Для каждой функции определите, какая линия является её графиком, и покажите схематически её положение в координатной плоскости:

а) $y = (x - 1)^2$, $y = 1 - x$, $y = - \frac{1}{x}$, $y = 1 - x^2$;

б) $y = 6 + x^2$, $y = (x + 6)^2$, $y = 6 + x$, $y = \frac{6}{x}$.

Функция $y = (x - 1)^2$. Графиком является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии — вертикальная прямая $x=1$. График пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$.
Схематическое положение: парабола с вершиной в точке $(1, 0)$ на оси Ох, открывающаяся вверх.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Функция $y = 1 - x$. Графиком является прямая линия. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -1$ и смещением $b = 1$. Прямая убывает и проходит через точки $(0, 1)$ (пересечение с осью Оу) и $(1, 0)$ (пересечение с осью Ох).
Схематическое положение: прямая, проходящая через I, II и IV координатные четверти, пересекая оси в точках $(1, 0)$ и $(0, 1)$.
Ответ: Прямая линия, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

Функция $y = -\frac{1}{x}$. Графиком является гипербола. Это стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, отраженная относительно оси Ох (или Оу). Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами.
Схематическое положение: две ветви кривой, расположенные во второй и четвертой четвертях, асимптотически приближающиеся к осям координат.
Ответ: Гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

Функция $y = 1 - x^2$. Графиком является парабола. Это парабола $y = -x^2$ (ветви направлены вниз), сдвинутая на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии — ось Оу ($x=0$). График пересекает ось абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
Схематическое положение: парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ на оси Оу, открывающаяся вниз.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вниз.

Функция $y = 6 + x^2$. Графиком является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 6 единиц вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0, 6)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии — ось Оу ($x=0$). График не пересекает ось абсцисс.
Схематическое положение: парабола с вершиной в точке $(0, 6)$ на оси Оу, открывающаяся вверх.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(0, 6)$ и ветвями, направленными вверх.

Функция $y = (x + 6)^2$. Графиком является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 6 единиц влево вдоль оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(-6, 0)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии — вертикальная прямая $x=-6$. График пересекает ось ординат в точке $(0, 36)$.
Схематическое положение: парабола с вершиной в точке $(-6, 0)$ на оси Ох, открывающаяся вверх.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(-6, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Функция $y = 6 + x$. Графиком является прямая линия. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=1$ и смещением $b=6$. Прямая возрастает и проходит через точки $(0, 6)$ (пересечение с осью Оу) и $(-6, 0)$ (пересечение с осью Ох).
Схематическое положение: прямая, проходящая через I, II и III координатные четверти, пересекая оси в точках $(-6, 0)$ и $(0, 6)$.
Ответ: Прямая линия, проходящая через точки $(-6, 0)$ и $(0, 6)$.

Функция $y = \frac{6}{x}$. Графиком является гипербола. Коэффициент $k=6$ положительный, поэтому ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. График является растяжением гиперболы $y=\frac{1}{x}$ от оси Ох в 6 раз. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами. График проходит, например, через точки $(1, 6)$, $(2, 3)$, $(6, 1)$.
Схематическое положение: две ветви кривой, расположенные в первой и третьей четвертях, асимптотически приближающиеся к осям координат.
Ответ: Гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

249 Назовите координаты вершины параболы и укажите направление её ветвей:

а) $y = 3(x - 7)^2 + 1;$

б) $y = -2(x + 2)^2 + 8;$

в) $y = (x - 3)^2 - 4;$

г) $y = -(x + 5)^2 - 5.$

а) $y = 3(x - 7)^2 + 1$

Уравнение параболы в вершинной форме имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины. Направление ветвей зависит от знака коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх, а если $a < 0$ — вниз.
Для данного уравнения имеем: $a = 3$, $h = 7$ и $k = 1$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(7, 1)$.
Поскольку коэффициент $a = 3$ положителен, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Координаты вершины (7, 1), ветви направлены вверх.

б) $y = -2(x + 2)^2 + 8$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = a(x - h)^2 + k$, переписав $x+2$ как $x - (-2)$. Получаем $y = -2(x - (-2))^2 + 8$.
Отсюда, коэффициенты: $a = -2$, $h = -2$ и $k = 8$.
Координаты вершины параболы: $(-2, 8)$.
Так как коэффициент $a = -2$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Координаты вершины (-2, 8), ветви направлены вниз.

в) $y = (x - 3)^2 - 4$

В данном уравнении коэффициент перед скобкой не указан, что означает $a = 1$. Уравнение уже представлено в стандартной форме.
Имеем: $a = 1$, $h = 3$ и $k = -4$.
Координаты вершины параболы: $(3, -4)$.
Поскольку коэффициент $a = 1$ положителен, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Координаты вершины (3, -4), ветви направлены вверх.

г) $y = -(x + 5)^2 - 5$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = a(x - h)^2 + k$. Знак минус перед скобкой означает, что $a = -1$, а $x+5$ можно записать как $x - (-5)$. Получаем $y = -1(x - (-5))^2 - 5$.
Отсюда, коэффициенты: $a = -1$, $h = -5$ и $k = -5$.
Координаты вершины параболы: $(-5, -5)$.
Так как коэффициент $a = -1$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Координаты вершины (-5, -5), ветви направлены вниз.

250 Постройте график функции. В качестве образца воспользуйтесь примером 3.

а) $y = (x + 3)^2 - 4;$

б) $y = -2(x - 1)^2 + 3;$

в) $y = -(x + 1)^2 - 1;$

г) $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 1.$

Для каждой функции укажите наибольшее (или наименьшее) значение, а также промежуток убывания и промежуток возрастания.

а) $y = (x + 3)^2 - 4$

График этой функции — парабола, полученная из графика функции $y = x^2$ с помощью двух последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y=x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = (x + 3)^2$.
2. Сдвиг графика $y = (x + 3)^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = 1$, $h = -3$, $k = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k) = (-3, -4)$.
Поскольку коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Наименьшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение равно $y_{min} = -4$.
2. Промежуток убывания: Функция убывает на луче слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, -3]$.
3. Промежуток возрастания: Функция возрастает на луче справа от вершины, то есть при $x \in [-3, +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4; функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$ и возрастает на промежутке $[-3, +\infty)$.

б) $y = -2(x - 1)^2 + 3$

График этой функции — парабола, полученная из графика функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Растяжение графика $y=x^2$ от оси Ox в 2 раза. Получаем $y = 2x^2$.
2. Симметричное отражение графика $y = 2x^2$ относительно оси Ox. Получаем $y = -2x^2$.
3. Сдвиг графика $y = -2x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получаем $y = -2(x - 1)^2$.
4. Сдвиг графика $y = -2(x - 1)^2$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -2$, $h = 1$, $k = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k) = (1, 3)$.
Поскольку коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Наибольшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение равно $y_{max} = 3$.
2. Промежуток возрастания: Функция возрастает на луче слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, 1]$.
3. Промежуток убывания: Функция убывает на луче справа от вершины, то есть при $x \in [1, +\infty)$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3; функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

в) $y = -(x + 1)^2 - 1$

График этой функции — парабола, полученная из графика функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Симметричное отражение графика $y = x^2$ относительно оси Ox. Получаем $y = -x^2$.
2. Сдвиг графика $y = -x^2$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем $y = -(x + 1)^2$.
3. Сдвиг графика $y = -(x + 1)^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1$, $h = -1$, $k = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k) = (-1, -1)$.
Поскольку коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Наибольшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение равно $y_{max} = -1$.
2. Промежуток возрастания: Функция возрастает на луче слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, -1]$.
3. Промежуток убывания: Функция убывает на луче справа от вершины, то есть при $x \in [-1, +\infty)$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -1; функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

г) $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 1$

График этой функции — парабола, полученная из графика функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Сжатие графика $y=x^2$ к оси Oy в 2 раза (или растяжение от оси Ox с коэффициентом $\frac{1}{2}$). Получаем $y = \frac{1}{2}x^2$.
2. Сдвиг графика $y = \frac{1}{2}x^2$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2$.
3. Сдвиг графика $y = \frac{1}{2}(x - 4)^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = \frac{1}{2}$, $h = 4$, $k = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k) = (4, 1)$.
Поскольку коэффициент $a=\frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Наименьшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение равно $y_{min} = 1$.
2. Промежуток убывания: Функция убывает на луче слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, 4]$.
3. Промежуток возрастания: Функция возрастает на луче справа от вершины, то есть при $x \in [4, +\infty)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1; функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

251 Постройте график функции. В качестве образца воспользуйтесь примером 4.

а) $y = x^2 - 2x + 3;$

б) $y = x^2 + 4x;$

в) $y = x^2 + 6x + 8;$

г) $y = x^2 - 4x + 4.$

Для построения графиков данных квадратичных функций $y = ax^2 + bx + c$ мы будем использовать метод выделения полного квадрата, чтобы привести уравнение к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Это позволит легко определить координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ и построить график, сдвигая базовую параболу $y = ax^2$.

а) $y = x^2 - 2x + 3$

1. Выделение полного квадрата.
Преобразуем правую часть уравнения: $y = x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 3 = (x - 1)^2 + 2$.
Таким образом, график данной функции — это парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вправо по оси абсцисс и на 2 единицы вверх по оси ординат.

2. Основные характеристики параболы.

• Вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.
• Ось симметрии — вертикальная прямая $x = 1$.
• Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0; 3)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox.

4. Дополнительные точки.
Для точности построения найдем еще пару точек. Возьмем точку, симметричную точке $(0; 3)$ относительно оси симметрии $x=1$. Ее абсцисса будет $x = 2$. Ордината останется той же: $y(2) = 2^2 - 2(2) + 3 = 3$. Точка $(2; 3)$.
Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$. Точка $(-1; 6)$.

5. Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; 2)$, точку пересечения с осью Oy $(0; 3)$ и симметричную ей точку $(2; 3)$, а также точку $(-1; 6)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x + 3$ — это парабола с вершиной в точке $(1; 2)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; 3)$ и не пересекает ось Ox.

б) $y = x^2 + 4x$

1. Выделение полного квадрата.
$y = x^2 + 4x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x + 2)^2 - 4$.
График — парабола $y = x^2$, смещенная на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз.

2. Основные характеристики параболы.

• Вершина параболы: $(-2; -4)$.
• Ось симметрии: $x = -2$.
• Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью Oy ($x=0$): $y = 0^2 + 4(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.
• С осью Ox ($y=0$): $x^2 + 4x = 0 \implies x(x+4) = 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=-4$. Точки $(0; 0)$ и $(-4; 0)$.

4. Построение графика.
Отмечаем вершину $(-2; -4)$ и точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(-4; 0)$. Этих трех точек достаточно для схематического построения параболы. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4x$ — это парабола с вершиной в точке $(-2; -4)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; 0)$ и ось Ox в точках $(0; 0)$ и $(-4; 0)$.

в) $y = x^2 + 6x + 8$

1. Выделение полного квадрата.
$y = x^2 + 6x + 8 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 8 = (x + 3)^2 - 9 + 8 = (x + 3)^2 - 1$.
График — парабола $y = x^2$, смещенная на 3 единицы влево и на 1 единицу вниз.

2. Основные характеристики параболы.

• Вершина параболы: $(-3; -1)$.
• Ось симметрии: $x = -3$.
• Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью Oy ($x=0$): $y = 0^2 + 6(0) + 8 = 8$. Точка $(0; 8)$.
• С осью Ox ($y=0$): $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$, $x_2=-4$. Точки $(-2; 0)$ и $(-4; 0)$.

4. Построение графика.
Отмечаем вершину $(-3; -1)$, точки пересечения с осью Ox $(-4; 0)$ и $(-2; 0)$, и точку пересечения с осью Oy $(0; 8)$. Для симметрии можно отметить точку $(-6; 8)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 + 6x + 8$ — это парабола с вершиной в точке $(-3; -1)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; 8)$ и ось Ox в точках $(-4; 0)$ и $(-2; 0)$.

г) $y = x^2 - 4x + 4$

1. Выделение полного квадрата.
Выражение в правой части является полным квадратом: $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
График — парабола $y = x^2$, смещенная на 2 единицы вправо.

2. Основные характеристики параболы.

• Вершина параболы: $(2; 0)$.
• Ось симметрии: $x = 2$.
• Ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью Oy ($x=0$): $y = (0 - 2)^2 = 4$. Точка $(0; 4)$.
• С осью Ox ($y=0$): $(x-2)^2 = 0 \implies x=2$. Парабола касается оси Ox в своей вершине. Точка касания — $(2; 0)$.

4. Дополнительные точки.
Возьмем точку, симметричную точке $(0; 4)$ относительно оси $x=2$. Ее абсцисса $x=4$, ордината та же. Точка $(4; 4)$.
Возьмем $x=1$: $y = (1-2)^2 = 1$. Точка $(1; 1)$. Симметричная ей точка $(3; 1)$.

5. Построение графика.
Отмечаем вершину $(2; 0)$, точку пересечения с осью Oy $(0; 4)$ и симметричную ей точку $(4; 4)$, а также точки $(1; 1)$ и $(3; 1)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x + 4$ — это парабола с вершиной в точке $(2; 0)$, ветвями, направленными вверх. Парабола касается оси Ox в точке $(2; 0)$ и пересекает ось Oy в точке $(0; 4)$.

Б

252 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Задайте формулой каждую функцию, график которой изображён на рисунке 2.31.

253 Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$. Постройте параболу, симметричную данной относительно оси $x$, и задайте её уравнением.

Рис. 2.31

252.

Все три графика являются параболами. Для нахождения их уравнений будем использовать вершинную форму $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

1) Парабола ① (розовая, ветви вверх)

• Вершина находится в точке $(0, -1)$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 0)^2 - 1$, то есть $y = ax^2 - 1$.
• График проходит через точку $(2, 3)$. Подставим эти координаты в уравнение для нахождения $a$:
  $3 = a \cdot 2^2 - 1 \implies 3 = 4a - 1 \implies 4a = 4 \implies a = 1$.
• Формула функции: $y = x^2 - 1$.

2) Парабола ② (розовая, ветви вниз)

• Вершина находится в точке $(0, 3)$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 0)^2 + 3$, то есть $y = ax^2 + 3$.
• График проходит через точку $(1, 0)$. Подставим эти координаты в уравнение:
  $0 = a \cdot 1^2 + 3 \implies 0 = a + 3 \implies a = -3$.
• Формула функции: $y = -3x^2 + 3$.

3) Парабола ③ (черная, ветви вверх)

• Вершина находится в точке $(0, -3)$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 0)^2 - 3$, то есть $y = ax^2 - 3$.
• График проходит через точку $(2, 1)$. Подставим эти координаты в уравнение:
  $1 = a \cdot 2^2 - 3 \implies 1 = 4a - 3 \implies 4a = 4 \implies a = 1$.
• Формула функции: $y = x^2 - 3$.

Ответ: 1) $y = x^2 - 1$; 2) $y = -3x^2 + 3$; 3) $y = x^2 - 3$.

253.

Задача состоит из двух частей: построение параболы $y = x^2 + 2$ и нахождение уравнения параболы, симметричной ей относительно оси Ox.

Часть 1: Построение параболы $y = x^2 + 2$

График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола, которую можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Основные характеристики для построения:

• Вершина: находится в точке $(0, 2)$.
• Направление ветвей: вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
• Ось симметрии: ось Oy ($x=0$).
• Контрольные точки:
  При $x= \pm 1$, $y = (\pm 1)^2 + 2 = 3$. Точки $(-1, 3)$ и $(1, 3)$.
  При $x= \pm 2$, $y = (\pm 2)^2 + 2 = 6$. Точки $(-2, 6)$ и $(2, 6)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы построим график параболы.

Часть 2: Нахождение уравнения симметричной параболы

График, симметричный графику функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox), задается уравнением $y = -f(x)$. В нашем случае $f(x) = x^2 + 2$. Тогда уравнение симметричной параболы будет:

$y = -(x^2 + 2)$

Раскрыв скобки, получаем окончательное уравнение:

$y = -x^2 - 2$

Это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: Уравнение параболы, симметричной данной относительно оси x: $y = -x^2 - 2$.

253 Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$. Постройте параболу, симметричную данной относительно оси $x$, и задайте её уравнением.

Постройте параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 2$

Графиком функции $y = x^2 + 2$ является парабола. Эту параболу можно получить из графика основной параболы $y = x^2$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 2 единицы вверх.

1. Вершина параболы: Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. При сдвиге на 2 единицы вверх, вершина параболы $y = x^2 + 2$ перемещается в точку $(0, 2)$.
2. Ось симметрии: Осью симметрии для обеих парабол является ось $Oy$, то есть прямая $x = 0$.
3. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
4. Таблица точек для построения: Чтобы построить график более точно, найдем несколько точек, принадлежащих параболе.
   

   $x$	$y = x^2 + 2$
   -2	$(-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$
   -1	$(-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$
   0	$0^2 + 2 = 2$
   1	$1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$
   2	$2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0, 2)$ и найденные точки $(-2, 6)$, $(-1, 3)$, $(1, 3)$, $(2, 6)$, а затем соединить их плавной линией.

Ответ: Парабола $y = x^2 + 2$ с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вверх, ось симметрии — прямая $x = 0$.

Постройте параболу, симметричную данной относительно оси x, и задайте её уравнением

Симметрия графика функции относительно оси абсцисс (оси $Ox$) означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, на симметричном графике будет точка $(x_0, -y_0)$.

1. Получение уравнения:
   Чтобы найти уравнение параболы, симметричной данной $y = x^2 + 2$ относительно оси $Ox$, нужно в исходном уравнении заменить $y$ на $-y$.
   $-y = x^2 + 2$
   Умножим обе части уравнения на -1, чтобы выразить $y$:
   $y = -(x^2 + 2)$
   $y = -x^2 - 2$
   Это и есть искомое уравнение.
2. Построение графика:
   График функции $y = -x^2 - 2$ является параболой, которая симметрична параболе $y = x^2 + 2$ относительно оси $Ox$.
   • Вершина параболы: Вершина исходной параболы $(0, 2)$ при симметрии относительно оси $Ox$ переходит в точку $(0, -2)$.
   • Ось симметрии: Ось симметрии остается прежней — прямая $x = 0$.
   • Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число), поэтому ветви параболы направлены вниз.
   • Таблица точек: Точки для построения можно получить из предыдущей таблицы, изменив знак координаты $y$ на противоположный.
     

     $x$	$y = -x^2 - 2$
     -2	$-(-2)^2 - 2 = -4 - 2 = -6$
     -1	$-(-1)^2 - 2 = -1 - 2 = -3$
     0	$-0^2 - 2 = -2$
     1	$-1^2 - 2 = -1 - 2 = -3$
     2	$-2^2 - 2 = -4 - 2 = -6$

Для построения графика нужно отметить на той же координатной плоскости новую вершину $(0, -2)$ и точки $(-2, -6)$, $(-1, -3)$, $(1, -3)$, $(2, -6)$ и соединить их плавной линией.

Ответ: Уравнение параболы, симметричной данной относительно оси $x$, имеет вид $y = -x^2 - 2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вниз.