Страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

270 РАССУЖДАЕМ На рисунке 2.36, а–г изображены графики нескольких квадратичных функций. В каждом случае найдите координаты отмеченных точек.

а) $y = x^2 + 6x + 5$

б) $y = -\frac{1}{4}x^2 + 2x$

в) $y = -2x^2 + 6$

г) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 4$

Рис. 2.36

а) Дана функция $y = x^2 + 6x + 5$.
Точки A и B являются точками пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox), поэтому для нахождения их координат нужно приравнять $y$ к нулю.
Решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$. Следовательно, $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.
На графике точка A находится левее точки B, значит, у точки A меньшая абсцисса.
Координаты точки A: $(-5; 0)$.
Координаты точки B: $(-1; 0)$.
Точка C является точкой пересечения графика с осью ординат (осью Oy), поэтому для нахождения ее координат нужно приравнять $x$ к нулю.
$y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 5 = 5$.
Координаты точки C: $(0; 5)$.
Ответ: A(-5; 0), B(-1; 0), C(0; 5).

б) Дана функция $y = -\frac{1}{4}x^2 + 2x$.
Точки O и N являются точками пересечения с осью Ox, поэтому $y = 0$.
Решим уравнение $-\frac{1}{4}x^2 + 2x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(-\frac{1}{4}x + 2) = 0$.
Получаем два корня: $x_1 = 0$ (абсцисса точки O) и $-\frac{1}{4}x + 2 = 0 \Rightarrow \frac{1}{4}x = 2 \Rightarrow x_2 = 8$ (абсцисса точки N).
Координаты точки O: $(0; 0)$.
Координаты точки N: $(8; 0)$.
Точка M является вершиной параболы. Абсциссу вершины находим по формуле $x_M = -\frac{b}{2a}$.
Здесь $a = -\frac{1}{4}$, $b = 2$.
$x_M = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 4$.
Подставим $x_M = 4$ в уравнение функции, чтобы найти ординату:
$y_M = -\frac{1}{4} \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = -4 + 8 = 4$.
Координаты точки M: $(4; 4)$.
Ответ: O(0; 0), M(4; 4), N(8; 0).

в) Дана функция $y = -2x^2 + 6$.
Точка Q является точкой пересечения с осью Oy, поэтому ее абсцисса $x = 0$.
$y_Q = -2 \cdot 0^2 + 6 = 6$.
Координаты точки Q: $(0; 6)$. Эта точка также является вершиной параболы.
Точки P и N являются точками пересечения с осью Ox, поэтому их ордината $y = 0$.
Решим уравнение $-2x^2 + 6 = 0$.
$2x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Точка P расположена слева от оси Oy, поэтому ее абсцисса отрицательна.
Координаты точки P: $(-\sqrt{3}; 0)$.
Точка N расположена справа от оси Oy, поэтому ее абсцисса положительна.
Координаты точки N: $(\sqrt{3}; 0)$.
Ответ: P$(-\sqrt{3}; 0)$, Q(0; 6), N$(\sqrt{3}; 0)$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 4$.
Точка B является точкой пересечения с осью Oy, поэтому $x = 0$.
$y_B = \frac{1}{3} \cdot 0^2 - \frac{4}{3} \cdot 0 - 4 = -4$.
Координаты точки B: $(0; -4)$.
Точки A и D являются точками пересечения с осью Ox, поэтому $y = 0$.
Решим уравнение $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 4 = 0$. Умножим обе части на 3: $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.
Точка A находится слева от оси Oy, поэтому ее абсцисса отрицательна.
Координаты точки A: $(-2; 0)$.
Координаты точки D: $(6; 0)$.
Точка C является вершиной параболы. Найдем ее абсциссу по формуле $x_C = -\frac{b}{2a}$.
Здесь $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{4}{3}$.
$x_C = -\frac{-\frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = 2$.
Найдем ординату точки C, подставив $x_C = 2$ в функцию:
$y_C = \frac{1}{3} \cdot 2^2 - \frac{4}{3} \cdot 2 - 4 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = \frac{4-8-12}{3} = -\frac{16}{3}$.
Координаты точки C: $(2; -\frac{16}{3})$.
Ответ: A(-2; 0), B(0; -4), C$(2; -\frac{16}{3})$, D(6; 0).

271 Постройте график функции:

а) $y = x^2 + 6x + 5;$

б) $y = -x^2 + 2x - 5;$

в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x;$

г) $y = -2x^2 + 8;$

д) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4;$

е) $y = x^2 + 4x + 4.$

В каждом случае укажите:

1) промежутки возрастания и убывания функции;

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0;$

3) наибольшее или наименьшее значение функции;

4) область значений функции.

а) $y = x^2 + 6x + 5$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:
1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$
$y_v = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
Вершина находится в точке $(-3, -4)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
С осью OX (при $y=0$): $x^2 + 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -5$.
Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(-5, 0)$.

Теперь ответим на вопросы:

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$ и возрастает на промежутке $[-3, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = -1$ и $x = -5$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$.
$y < 0$ при $x \in (-5, -1)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. $y_{min} = -4$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = [-4, \infty)$.

Ответ: 1) Убывает на $(-\infty, -3]$, возрастает на $[-3, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{-5, -1\}$, $y>0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$, $y<0$ при $x \in (-5, -1)$; 3) наименьшее значение $y_{min}=-4$; 4) область значений $E(y) = [-4, \infty)$.

б) $y = -x^2 + 2x - 5$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 5 = -1 + 2 - 5 = -4$
Вершина находится в точке $(1, -4)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 2x - 5 = 0 \implies x^2 - 2x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$: нет таких значений $x$.
$y > 0$: нет таких значений $x$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, \infty)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. $y_{max} = -4$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = (-\infty, -4]$.

Ответ: 1) Возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, \infty)$; 2) $y=0$ и $y>0$ не достигаются ни при каких $x$, $y<0$ при $x \in (-\infty, \infty)$; 3) наибольшее значение $y_{max}=-4$; 4) область значений $E(y) = (-\infty, -4]$.

в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=\frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$
$y_v = y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$
Вершина находится в точке $(2, -2)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = \frac{1}{2}(0)^2 - 2(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX (при $y=0$): $\frac{1}{2}x^2 - 2x = 0 \implies x(\frac{1}{2}x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = 0$ и $x = 4$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.
$y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. $y_{min} = -2$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = [-2, \infty)$.

Ответ: 1) Убывает на $(-\infty, 2]$, возрастает на $[2, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{0, 4\}$, $y>0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$, $y<0$ при $x \in (0, 4)$; 3) наименьшее значение $y_{min}=-2$; 4) область значений $E(y) = [-2, \infty)$.

г) $y = -2x^2 + 8$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$
$y_v = y(0) = -2(0)^2 + 8 = 8$
Вершина находится в точке $(0, 8)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y=8$. Точка $(0, 8)$.
С осью OX (при $y=0$): $-2x^2 + 8 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.
$y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. $y_{max} = 8$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = (-\infty, 8]$.

Ответ: 1) Возрастает на $(-\infty, 0]$, убывает на $[0, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{-2, 2\}$, $y>0$ при $x \in (-2, 2)$, $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$; 3) наибольшее значение $y_{max}=8$; 4) область значений $E(y) = (-\infty, 8]$.

д) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4$

Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 3$
$y_v = y(3) = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3(3) - 4 = -4.5 + 9 - 4 = 0.5$
Вершина находится в точке $(3, 0.5)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y=-4$. Точка $(0, -4)$.
С осью OX (при $y=0$): $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 = 0 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = 2$ и $x = 4$.
$y > 0$ при $x \in (2, 4)$.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. $y_{max} = 0.5$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = (-\infty, 0.5]$.

Ответ: 1) Возрастает на $(-\infty, 3]$, убывает на $[3, \infty)$; 2) $y=0$ при $x \in \{2, 4\}$, $y>0$ при $x \in (2, 4)$, $y<0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$; 3) наибольшее значение $y_{max}=0.5$; 4) область значений $E(y) = (-\infty, 0.5]$.

е) $y = x^2 + 4x + 4$

Графиком функции является парабола. Функцию можно записать как $y = (x+2)^2$. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -2$
$y_v = 0$
Вершина находится в точке $(-2, 0)$.
2. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = (0+2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
С осью OX (при $y=0$): $(x+2)^2 = 0$.
Корень уравнения: $x = -2$.
Парабола касается оси OX в точке $(-2, 0)$, которая является ее вершиной.

1) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$ и возрастает на промежутке $[-2, \infty)$.

2) значения $x$, при которых $y = 0; y > 0; y < 0$;
$y = 0$ при $x = -2$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)$.
$y < 0$: нет таких значений $x$.

3) наибольшее или наименьшее значение функции;
Ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. $y_{min} = 0$.

4) область значений функции.
Область значений функции $E(y) = [0, \infty)$.

Ответ: 1) Убывает на $(-\infty, -2]$, возрастает на $[-2, \infty)$; 2) $y=0$ при $x = -2$, $y>0$ при $x \neq -2$, $y<0$ не достигается ни при каких $x$; 3) наименьшее значение $y_{min}=0$; 4) область значений $E(y) = [0, \infty)$.

272 В одной системе координат постройте графики функций и укажите координаты их точек пересечения. Проверьте результат подстановкой:

а) $y = x^2 - 4$ и $y = 2 - x$;

б) $y = x^2 + 4x + 3$ и $y = x + 3$;

в) $y = 9 - x^2$ и $y + x = 7$;

г) $y = 2x - x^2$ и $x + y = 0$.

а) $y = x^2 - 4$ и $y = 2 - x$

1. Построим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$; $y_0 = 0^2 - 4 = -4$. Вершина находится в точке $(0, -4)$. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 4 = 0$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Построим график функции $y = 2 - x$. Это прямая. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=2$ (точка $(0, 2)$); если $y=0$, то $x=2$ (точка $(2, 0)$).

3. Найдем координаты точек пересечения графиков аналитически. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 - 4 = 2 - x$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = 2 - x$:
Если $x_1 = -3$, то $y_1 = 2 - (-3) = 5$.
Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 2 - 2 = 0$.
Таким образом, точки пересечения: $(-3, 5)$ и $(2, 0)$.

4. Проверим результат подстановкой.
Для точки $(-3, 5)$:
$y = x^2 - 4 \Rightarrow 5 = (-3)^2 - 4 \Rightarrow 5 = 9 - 4 \Rightarrow 5 = 5$ (верно).
$y = 2 - x \Rightarrow 5 = 2 - (-3) \Rightarrow 5 = 5$ (верно).
Для точки $(2, 0)$:
$y = x^2 - 4 \Rightarrow 0 = 2^2 - 4 \Rightarrow 0 = 4 - 4 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
$y = 2 - x \Rightarrow 0 = 2 - 2 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

Ответ: $(-3, 5)$, $(2, 0)$.

б) $y = x^2 + 4x + 3$ и $y = x + 3$

1. Построим график функции $y = x^2 + 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$; $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(-2, -1)$. Точки пересечения с осью Ox: $x^2 + 4x + 3 = 0$, откуда по теореме Виета $x_1 = -3$, $x_2 = -1$. Точки $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$. Пересечение с осью Oy: $y(0) = 3$, точка $(0, 3)$.

2. Построим график функции $y = x + 3$. Это прямая. Точки для построения: если $x=0$, то $y=3$ (точка $(0, 3)$); если $x=-3$, то $y=0$ (точка $(-3, 0)$).

3. Найдем координаты точек пересечения аналитически:
$x^2 + 4x + 3 = x + 3$
$x^2 + 3x = 0$
$x(x + 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = x + 3$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 + 3 = 3$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -3 + 3 = 0$.
Точки пересечения: $(0, 3)$ и $(-3, 0)$.

4. Проверим результат подстановкой.
Для точки $(0, 3)$:
$y = x^2 + 4x + 3 \Rightarrow 3 = 0^2 + 4(0) + 3 \Rightarrow 3 = 3$ (верно).
$y = x + 3 \Rightarrow 3 = 0 + 3 \Rightarrow 3 = 3$ (верно).
Для точки $(-3, 0)$:
$y = x^2 + 4x + 3 \Rightarrow 0 = (-3)^2 + 4(-3) + 3 = 9 - 12 + 3 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
$y = x + 3 \Rightarrow 0 = -3 + 3 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

Ответ: $(-3, 0)$, $(0, 3)$.

в) $y = 9 - x^2$ и $y + x = 7$

1. Преобразуем второе уравнение к виду $y = 7 - x$.
2. Построим график функции $y = 9 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{0}{2(-1)} = 0$; $y_0 = 9 - 0^2 = 9$. Вершина в точке $(0, 9)$. Точки пересечения с осью Ox: $9 - x^2 = 0$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = 3$. Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Построим график функции $y = 7 - x$. Это прямая. Точки для построения: если $x=0$, то $y=7$ (точка $(0, 7)$); если $x=7$, то $y=0$ (точка $(7, 0)$).

4. Найдем координаты точек пересечения аналитически:
$9 - x^2 = 7 - x$
$0 = x^2 - x - 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$ из $y = 7 - x$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 7 - 2 = 5$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 7 - (-1) = 8$.
Точки пересечения: $(2, 5)$ и $(-1, 8)$.

5. Проверим результат подстановкой.
Для точки $(2, 5)$:
$y = 9 - x^2 \Rightarrow 5 = 9 - 2^2 \Rightarrow 5 = 9 - 4 \Rightarrow 5 = 5$ (верно).
$y + x = 7 \Rightarrow 5 + 2 = 7 \Rightarrow 7 = 7$ (верно).
Для точки $(-1, 8)$:
$y = 9 - x^2 \Rightarrow 8 = 9 - (-1)^2 \Rightarrow 8 = 9 - 1 \Rightarrow 8 = 8$ (верно).
$y + x = 7 \Rightarrow 8 + (-1) = 7 \Rightarrow 7 = 7$ (верно).

Ответ: $(-1, 8)$, $(2, 5)$.

г) $y = 2x - x^2$ и $x + y = 0$

1. Преобразуем второе уравнение к виду $y = -x$.
2. Построим график функции $y = 2x - x^2$ или $y = -x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{2}{2(-1)} = 1$; $y_0 = 2(1) - 1^2 = 1$. Вершина в точке $(1, 1)$. Точки пересечения с осью Ox: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x) = 0$, откуда $x_1=0$, $x_2=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

3. Построим график функции $y = -x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, -1)$.

4. Найдем координаты точек пересечения аналитически:
$2x - x^2 = -x$
$3x - x^2 = 0$
$x(3 - x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения $y$ из $y = -x$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -0 = 0$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = -3$.
Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(3, -3)$.

5. Проверим результат подстановкой.
Для точки $(0, 0)$:
$y = 2x - x^2 \Rightarrow 0 = 2(0) - 0^2 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
$x + y = 0 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).
Для точки $(3, -3)$:
$y = 2x - x^2 \Rightarrow -3 = 2(3) - 3^2 \Rightarrow -3 = 6 - 9 \Rightarrow -3 = -3$ (верно).
$x + y = 0 \Rightarrow 3 + (-3) = 0 \Rightarrow 0 = 0$ (верно).

Ответ: $(0, 0)$, $(3, -3)$.