Номер 270, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 270, страница 110.

270 РАССУЖДАЕМ На рисунке 2.36, а–г изображены графики нескольких квадратичных функций. В каждом случае найдите координаты отмеченных точек.

а) $y = x^2 + 6x + 5$

б) $y = -\frac{1}{4}x^2 + 2x$

в) $y = -2x^2 + 6$

г) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 4$

Рис. 2.36

а) Дана функция $y = x^2 + 6x + 5$.
Точки A и B являются точками пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox), поэтому для нахождения их координат нужно приравнять $y$ к нулю.
Решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$. Следовательно, $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.
На графике точка A находится левее точки B, значит, у точки A меньшая абсцисса.
Координаты точки A: $(-5; 0)$.
Координаты точки B: $(-1; 0)$.
Точка C является точкой пересечения графика с осью ординат (осью Oy), поэтому для нахождения ее координат нужно приравнять $x$ к нулю.
$y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 5 = 5$.
Координаты точки C: $(0; 5)$.
Ответ: A(-5; 0), B(-1; 0), C(0; 5).

б) Дана функция $y = -\frac{1}{4}x^2 + 2x$.
Точки O и N являются точками пересечения с осью Ox, поэтому $y = 0$.
Решим уравнение $-\frac{1}{4}x^2 + 2x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(-\frac{1}{4}x + 2) = 0$.
Получаем два корня: $x_1 = 0$ (абсцисса точки O) и $-\frac{1}{4}x + 2 = 0 \Rightarrow \frac{1}{4}x = 2 \Rightarrow x_2 = 8$ (абсцисса точки N).
Координаты точки O: $(0; 0)$.
Координаты точки N: $(8; 0)$.
Точка M является вершиной параболы. Абсциссу вершины находим по формуле $x_M = -\frac{b}{2a}$.
Здесь $a = -\frac{1}{4}$, $b = 2$.
$x_M = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 4$.
Подставим $x_M = 4$ в уравнение функции, чтобы найти ординату:
$y_M = -\frac{1}{4} \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = -4 + 8 = 4$.
Координаты точки M: $(4; 4)$.
Ответ: O(0; 0), M(4; 4), N(8; 0).

в) Дана функция $y = -2x^2 + 6$.
Точка Q является точкой пересечения с осью Oy, поэтому ее абсцисса $x = 0$.
$y_Q = -2 \cdot 0^2 + 6 = 6$.
Координаты точки Q: $(0; 6)$. Эта точка также является вершиной параболы.
Точки P и N являются точками пересечения с осью Ox, поэтому их ордината $y = 0$.
Решим уравнение $-2x^2 + 6 = 0$.
$2x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Точка P расположена слева от оси Oy, поэтому ее абсцисса отрицательна.
Координаты точки P: $(-\sqrt{3}; 0)$.
Точка N расположена справа от оси Oy, поэтому ее абсцисса положительна.
Координаты точки N: $(\sqrt{3}; 0)$.
Ответ: P$(-\sqrt{3}; 0)$, Q(0; 6), N$(\sqrt{3}; 0)$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 4$.
Точка B является точкой пересечения с осью Oy, поэтому $x = 0$.
$y_B = \frac{1}{3} \cdot 0^2 - \frac{4}{3} \cdot 0 - 4 = -4$.
Координаты точки B: $(0; -4)$.
Точки A и D являются точками пересечения с осью Ox, поэтому $y = 0$.
Решим уравнение $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 4 = 0$. Умножим обе части на 3: $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.
Точка A находится слева от оси Oy, поэтому ее абсцисса отрицательна.
Координаты точки A: $(-2; 0)$.
Координаты точки D: $(6; 0)$.
Точка C является вершиной параболы. Найдем ее абсциссу по формуле $x_C = -\frac{b}{2a}$.
Здесь $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{4}{3}$.
$x_C = -\frac{-\frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = 2$.
Найдем ординату точки C, подставив $x_C = 2$ в функцию:
$y_C = \frac{1}{3} \cdot 2^2 - \frac{4}{3} \cdot 2 - 4 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = \frac{4-8-12}{3} = -\frac{16}{3}$.
Координаты точки C: $(2; -\frac{16}{3})$.
Ответ: A(-2; 0), B(0; -4), C$(2; -\frac{16}{3})$, D(6; 0).