Номер 266, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 266, страница 109.

266 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4x + 3$;

б) $y = -x^2 + 4x - 3$;

в) $y = 2x^2 + 4x - 6;

г) $y = -2x^2 + 4x + 6;

д) $y = 0,5x^2 - x - 4;

е) $y = -0,5x^2 - x + 4;

ж) $y = -x^2 + 2x;

з) $y = \frac{1}{4}x^2 - x.

В каждом случае укажите:

1) наибольшее или наименьшее значение функции;

2) промежутки возрастания и убывания функции;

3) нули функции;

4) значения $x$, при которых $y > 0$, $y < 0$.

а) $y = x^2 - 4x + 3$

Для построения графика найдем ключевые характеристики функции. График - парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент $a=1 > 0$).

Координаты вершины параболы: $x_v = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$.

$y_v = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(2, -1)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. Наименьшее значение функции: $y_{min} = -1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

3) нули функции: найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1, 3)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y=-1$; 2) убывает на $(-\infty, 2]$, возрастает на $[2, +\infty)$; 3) нули функции: $x=1, x=3$; 4) $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (1, 3)$.

б) $y = -x^2 + 4x - 3$

График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-1 < 0$).

Координаты вершины: $x_v = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$.

$y_v = y(2) = -(2^2) + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$. Вершина в точке $(2, 1)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. Наибольшее значение функции: $y_{max} = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на $(-\infty, 2]$ и убывает на $[2, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = 3$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (1, 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y=1$; 2) возрастает на $(-\infty, 2]$, убывает на $[2, +\infty)$; 3) нули функции: $x=1, x=3$; 4) $y > 0$ при $x \in (1, 3)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

в) $y = 2x^2 + 4x - 6$

График - парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$).

Координаты вершины: $x_v = -4/(2 \cdot 2) = -1$.

$y_v = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$. Вершина в точке $(-1, -8)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наименьшее значение $y_{min} = -8$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и возрастает на $[-1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $2x^2 + 4x - 6 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = -3, x_2 = 1$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-3, 1)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y=-8$; 2) убывает на $(-\infty, -1]$, возрастает на $[-1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=-3, x=1$; 4) $y > 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-3, 1)$.

г) $y = -2x^2 + 4x + 6$

График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-2 < 0$).

Координаты вершины: $x_v = -4/(2 \cdot (-2)) = 1$.

$y_v = y(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$. Вершина в точке $(1, 8)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наибольшее значение $y_{max} = 8$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $-2x^2 + 4x + 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = -1, x_2 = 3$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-1, 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y=8$; 2) возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=-1, x=3$; 4) $y > 0$ при $x \in (-1, 3)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

д) $y = 0,5x^2 - x - 4$

График - парабола с ветвями, направленными вверх ($a=0,5 > 0$).

Координаты вершины: $x_v = -(-1)/(2 \cdot 0,5) = 1$.

$y_v = y(1) = 0,5(1)^2 - 1 - 4 = 0,5 - 5 = -4,5$. Вершина в точке $(1, -4,5)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наименьшее значение $y_{min} = -4,5$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $0,5x^2 - x - 4 = 0 \implies x^2 - 2x - 8 = 0$. Корни $x_1 = -2, x_2 = 4$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2, 4)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y=-4,5$; 2) убывает на $(-\infty, 1]$, возрастает на $[1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=-2, x=4$; 4) $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-2, 4)$.

е) $y = -0,5x^2 - x + 4$

График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-0,5 < 0$).

Координаты вершины: $x_v = -(-1)/(2 \cdot (-0,5)) = 1/(-1) = -1$.

$y_v = y(-1) = -0,5(-1)^2 - (-1) + 4 = -0,5 + 1 + 4 = 4,5$. Вершина в точке $(-1, 4,5)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наибольшее значение $y_{max} = 4,5$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и убывает на $[-1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $-0,5x^2 - x + 4 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x_1 = -4, x_2 = 2$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-4, 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y=4,5$; 2) возрастает на $(-\infty, -1]$, убывает на $[-1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=-4, x=2$; 4) $y > 0$ при $x \in (-4, 2)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

ж) $y = -x^2 + 2x$

График - парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-1 < 0$).

Координаты вершины: $x_v = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$.

$y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$. Вершина в точке $(1, 1)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наибольшее значение $y_{max} = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $-x^2 + 2x = 0 \implies -x(x - 2) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 2$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (0, 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение $y=1$; 2) возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, +\infty)$; 3) нули функции: $x=0, x=2$; 4) $y > 0$ при $x \in (0, 2)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

з) $y = \frac{1}{4}x^2 - x$

График - парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1/4 > 0$).

Координаты вершины: $x_v = -(-1)/(2 \cdot \frac{1}{4}) = 1/(1/2) = 2$.

$y_v = y(2) = \frac{1}{4}(2)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Вершина в точке $(2, -1)$.

1) наибольшее или наименьшее значение функции: наименьшее значение $y_{min} = -1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции: функция убывает на $(-\infty, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$.

3) нули функции: решим уравнение $\frac{1}{4}x^2 - x = 0 \implies x(\frac{1}{4}x - 1) = 0$. Корни $x_1 = 0, x_2 = 4$.

4) значения x, при которых $y > 0, y < 0$: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

Ответ: 1) наименьшее значение $y=-1$; 2) убывает на $(-\infty, 2]$, возрастает на $[2, +\infty)$; 3) нули функции: $x=0, x=4$; 4) $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.