Номер 262, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Сдвиг графика функции у=ах^2 вдоль осей координат. Глава 2. Квадратичная функция - номер 262, страница 104.

262 Исследуем

1) Сравните значения функции $y = x^2 + 1$ при $x = -3$ и $x = 3$, при $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$, при $x = -100$ и $x = 100$. Какое свойство этой функции вы обнаружили? Обладает ли этим свойством функция $y = (x + 1)^2$? $y = x^2 + x$?

2) Функцию $y = f(x)$ называют чётной, если её область определения симметрична относительно начала координат и при любом значении $x$ из области определения $f(-x) = f(x)$. Так, функция $y = x^2 + 1$ чётная, а функции $y = (x + 1)^2$ и $y = x^2 + x$ чётными не являются. Придумайте свои примеры чётных функций.

3) Каким свойством обладает график чётной функции? Начертите в системе координат какую-нибудь линию, которая может служить графиком чётной функции.

1) Сравним значения функции $y = x^2 + 1$ для заданных пар значений аргумента $x$.

Для пары $x = -3$ и $x = 3$:
Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.
Если $x = 3$, то $y = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.
Значения функции в этих точках равны: $y(-3) = y(3)$.

Для пары $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$:
Если $x = -\frac{1}{2}$, то $y = (-\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
Если $x = \frac{1}{2}$, то $y = (\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
Значения функции в этих точках равны: $y(-\frac{1}{2}) = y(\frac{1}{2})$.

Для пары $x = -100$ и $x = 100$:
Если $x = -100$, то $y = (-100)^2 + 1 = 10000 + 1 = 10001$.
Если $x = 100$, то $y = 100^2 + 1 = 10000 + 1 = 10001$.
Значения функции в этих точках равны: $y(-100) = y(100)$.

Мы обнаружили свойство, что для противоположных значений аргумента ($x$ и $-x$) значения функции $y = x^2 + 1$ совпадают. Это свойство называется чётностью функции. Для чётной функции $f(x)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения.

Теперь проверим, обладают ли этим свойством функции $y = (x + 1)^2$ и $y = x^2 + x$.

Для функции $y = (x + 1)^2$:
Пусть $f(x) = (x + 1)^2$. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x + 1)^2 = (1 - x)^2$.
Сравним $f(x)$ и $f(-x)$. В общем случае $(x + 1)^2 \neq (1 - x)^2$. Например, при $x=1$:
$f(1) = (1 + 1)^2 = 4$
$f(-1) = (-1 + 1)^2 = 0$
Так как $f(1) \neq f(-1)$, эта функция не является чётной.

Для функции $y = x^2 + x$:
Пусть $g(x) = x^2 + x$. Найдём $g(-x)$: $g(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$.
Сравним $g(x)$ и $g(-x)$. В общем случае $x^2 + x \neq x^2 - x$. Например, при $x=1$:
$g(1) = 1^2 + 1 = 2$
$g(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$
Так как $g(1) \neq g(-1)$, эта функция также не является чётной.

Ответ: Для всех заданных пар противоположных значений $x$ значения функции $y = x^2 + 1$ равны. Это свойство называется чётностью функции ($f(-x) = f(x)$). Функции $y = (x + 1)^2$ и $y = x^2 + x$ этим свойством не обладают.

2) Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Примеры чётных функций:

• $y = x^6$. В общем виде, любая степенная функция с чётным показателем $y = x^{2n}$, где $n$ — целое число.
• $y = |x|$ (модуль $x$), так как $|-x| = |x|$.
• $y = \cos(x)$, так как по определению косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$.
• $y = 7x^4 - x^2 + 3$. Любой многочлен, который содержит только чётные степени переменной $x$ (включая константу, которую можно представить как $3x^0$), является чётной функцией.
• $y = \frac{1}{x^2+4}$, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+4} = \frac{1}{x^2+4} = f(x)$.

Ответ: Примеры чётных функций: $y = x^6$, $y = |x|$, $y = \cos(x)$, $y = 7x^4 - x^2 + 3$.

3) Основное свойство графика чётной функции следует напрямую из её определения $f(-x) = f(x)$.

Это равенство означает, что если точка с координатами $(x, y)$ лежит на графике функции, то и точка с координатами $(-x, y)$ также обязательно лежит на этом графике. Пара точек $(x, y)$ и $(-x, y)$ симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$).
Таким образом, график чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Чтобы начертить линию, которая может служить графиком чётной функции, достаточно нарисовать любую кривую и затем отразить её зеркально относительно оси $Oy$.

Например, можно начертить линию, которая проходит через последовательность точек $(-5, 2)$, $(-3, -1)$, $(0, 3)$, $(3, -1)$, $(5, 2)$. Эта линия будет симметрична относительно оси $Oy$, так как для каждой точки $(x, y)$ на ней есть соответствующая точка $(-x, y)$. Классическими примерами графиков чётных функций являются парабола $y = x^2$ или график $y = \cos(x)$.

Ответ: График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Любая линия в системе координат, обладающая такой симметрией, может служить графиком некоторой чётной функции.