Номер 269, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 269, страница 109.

269 Функция задана формулой:

а) $y = 2x^2 + 7x + 3;$

б) $y = x^2 - 6x + 11;$

в) $y = -3x^2 + 12x;$

г) $y = -x^2 - 2x - 1.$

В каждом случае выполните следующие задания:

1) найдите, в какой точке график функции пересекает ось y;

2) определите, пересекает ли график ось x, и если да, то в каких точках;

3) покажите схематически расположение графика в координатной плоскости.

а) $y = 2x^2 + 7x + 3$

1) Чтобы найти точку пересечения графика с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 2(0)^2 + 7(0) + 3 = 3$.
График пересекает ось $y$ в точке $(0; 3)$.

2) Чтобы определить, пересекает ли график ось $x$, приравняем $y$ к нулю и решим квадратное уравнение $2x^2 + 7x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, значит, график пересекает ось $x$ в двух точках.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Точки пересечения с осью $x$: $(-3; 0)$ и $(-0.5; 0)$.

3) График функции — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $2$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot 2} = -1.75$.
$y_в = 2(-1.75)^2 + 7(-1.75) + 3 = 2(3.0625) - 12.25 + 3 = 6.125 - 12.25 + 3 = -3.125$.
Вершина находится в точке $(-1.75; -3.125)$.
Схематически, это парабола с ветвями вверх, вершиной в IV четверти в точке $(-1.75; -3.125)$, пересекающая ось $y$ в точке $(0; 3)$ и ось $x$ в точках $(-3; 0)$ и $(-0.5; 0)$.

Ответ: 1) $(0; 3)$; 2) да, в точках $(-3; 0)$ и $(-0.5; 0)$; 3) парабола с ветвями вверх, вершина в точке $(-1.75; -3.125)$.

б) $y = x^2 - 6x + 11$

1) Найдем точку пересечения графика с осью $y$, подставив $x=0$:
$y = 0^2 - 6(0) + 11 = 11$.
Точка пересечения с осью $y$: $(0; 11)$.

2) Найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $x^2 - 6x + 11 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график не пересекает ось $x$.

3) График — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), значит, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_в = 3^2 - 6(3) + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$.
Вершина находится в точке $(3; 2)$.
Схематически, это парабола с ветвями вверх, вершиной в I четверти в точке $(3; 2)$. Так как вершина находится выше оси $x$ и ветви направлены вверх, график полностью расположен в I и II координатных четвертях. Он пересекает ось $y$ в точке $(0; 11)$.

Ответ: 1) $(0; 11)$; 2) нет, не пересекает; 3) парабола с ветвями вверх, вершина в точке $(3; 2)$.

в) $y = -3x^2 + 12x$

1) Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$:
$y = -3(0)^2 + 12(0) = 0$.
График пересекает ось $y$ в начале координат, в точке $(0; 0)$.

2) Найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $-3x^2 + 12x = 0$.
Вынесем общий множитель: $-3x(x - 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения с осью $x$: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

3) График — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-3$ (отрицательный), значит, ветви направлены вниз. Найдем координаты вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$.
$y_в = -3(2)^2 + 12(2) = -12 + 24 = 12$.
Вершина находится в точке $(2; 12)$.
Схематически, это парабола с ветвями вниз, вершиной в I четверти в точке $(2; 12)$. Она проходит через начало координат $(0; 0)$ и пересекает ось $x$ еще раз в точке $(4; 0)$.

Ответ: 1) $(0; 0)$; 2) да, в точках $(0; 0)$ и $(4; 0)$; 3) парабола с ветвями вниз, вершина в точке $(2; 12)$.

г) $y = -x^2 - 2x - 1$

1) Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x=0$:
$y = -(0)^2 - 2(0) - 1 = -1$.
Точка пересечения с осью $y$: $(0; -1)$.

2) Найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $-x^2 - 2x - 1 = 0$.
Умножим обе части на -1: $x^2 + 2x + 1 = 0$.
Это формула полного квадрата: $(x+1)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень (кратности 2): $x = -1$.
График не пересекает, а касается оси $x$ в одной точке: $(-1; 0)$.

3) График — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), значит, ветви направлены вниз. Так как уравнение имеет один корень, вершина параболы лежит на оси $x$.
Координаты вершины: $(-1; 0)$.
Схематически, это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится на оси $x$ в точке $(-1; 0)$. Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0; -1)$ и полностью расположена в III и IV координатных четвертях, касаясь оси $x$.

Ответ: 1) $(0; -1)$; 2) да, в точке $(-1; 0)$ (касание); 3) парабола с ветвями вниз, вершина в точке $(-1; 0)$.