Номер 276, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 276, страница 111.

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ (276–277)

При решении задач воспользуйтесь формулой из примера 2.

276 Мяч падает с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю.

1) Запишите уравнение, которое задаёт соотношение между высотой $h$ (в м) мяча над землёй и временем падения $t$ (в с).

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

3) Определите по графику:

а) сколько примерно времени будет падать мяч;

б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

1) Запишите уравнение, которое задаёт соотношение между высотой h (в м) мяча над землёй и временем падения t (в с).

Для решения задачи воспользуемся формулой свободного падения тела с нулевой начальной скоростью. Расстояние $s$, которое пролетает тело за время $t$, определяется как $s = \frac{gt^2}{2}$, где $g$ – ускорение свободного падения. В школьных задачах для упрощения расчетов принимают $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Тогда расстояние, которое пролетел мяч, равно: $s(t) = \frac{10t^2}{2} = 5t^2$.

Высота мяча над землёй $h$ в момент времени $t$ – это начальная высота $H$ минус пройденное расстояние $s$. По условию, начальная высота $H = 20$ м.

Следовательно, уравнение зависимости высоты $h$ от времени $t$ имеет вид:

$h(t) = H - s(t) = 20 - 5t^2$.

Ответ: $h = 20 - 5t^2$.

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

Графиком функции $h(t) = 20 - 5t^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 20)$. Падение мяча закончится, когда он достигнет земли, то есть когда высота $h$ станет равной нулю. Найдем время падения:

$0 = 20 - 5t^2$

$5t^2 = 20$

$t^2 = 4$

$t = 2$ с (так как время не может быть отрицательным).

Таким образом, нам нужно построить график функции на интервале времени $t \in [0, 2]$.

Для построения графика составим таблицу значений:

при $t = 0$ с, $h = 20 - 5(0)^2 = 20$ м;

при $t = 0.5$ с, $h = 20 - 5(0.5)^2 = 20 - 1.25 = 18.75$ м;

при $t = 1$ с, $h = 20 - 5(1)^2 = 20 - 5 = 15$ м;

при $t = 1.5$ с, $h = 20 - 5(1.5)^2 = 20 - 11.25 = 8.75$ м;

при $t = 2$ с, $h = 20 - 5(2)^2 = 20 - 20 = 0$ м.

Теперь можно начертить график. По оси абсцисс (горизонтальной) откладываем время $t$ в секундах, а по оси ординат (вертикальной) – высоту $h$ в метрах. Удобный масштаб: по оси $t$ одна клетка – это 0.5 с, по оси $h$ одна клетка – это 5 м. Отмечаем точки $(0, 20)$, $(0.5, 18.75)$, $(1, 15)$, $(1.5, 8.75)$, $(2, 0)$ и соединяем их плавной кривой линией.

Ответ: График представляет собой часть параболы с вершиной в точке $(0, 20)$, проходящую через точки $(1, 15)$ и $(2, 0)$, где ось абсцисс — время $t$ (с), а ось ординат — высота $h$ (м).

3) Определите по графику:

а) сколько примерно времени будет падать мяч;

Падение мяча заканчивается, когда его высота над землей становится равной нулю ($h=0$). На графике это точка пересечения кривой с осью времени ($t$). Из графика видно, что это происходит при $t = 2$ с.

Ответ: 2 секунды.

б) когда он падает быстрее — в первую секунду или во вторую;

Скорость падения на графике зависимости высоты от времени определяется крутизной (наклоном) кривой. Чем круче идет вниз график, тем больше скорость падения. Сравним участки графика от $t=0$ до $t=1$ с (первая секунда) и от $t=1$ до $t=2$ с (вторая секунда).

За первую секунду (с $t=0$ до $t=1$) высота изменилась с 20 м до 15 м, то есть мяч пролетел $20 - 15 = 5$ м.

За вторую секунду (с $t=1$ до $t=2$) высота изменилась с 15 м до 0 м, то есть мяч пролетел $15 - 0 = 15$ м.

Так как за вторую секунду мяч пролетел большее расстояние, чем за первую, его скорость была выше. На графике это отражено тем, что на интервале $[1, 2]$ кривая идет значительно круче вниз, чем на интервале $[0, 1]$.

Ответ: Во вторую секунду.

в) на каком расстоянии от земли окажется мяч через 1,5 с.

Чтобы определить расстояние от земли через 1,5 с, нужно найти на оси времени точку $t = 1.5$, подняться от нее до пересечения с графиком и затем найти соответствующее значение на оси высоты $h$.

Согласно графику (и нашим расчетам из пункта 2), при $t = 1.5$ с высота $h$ составляет 8,75 м.

Ответ: 8,75 м.