Номер 278, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 278, страница 112.

278 На рисунке 2.37 изображено кольцо, радиус внешнего круга которого равен 2 см.

1) Запишите формулу, выражающую зависимость площади A кольца от радиуса внутреннего круга x.

$A = 4\pi - \pi x^2$

2) Начертите график зависимости A от x.

3) Какова область определения рассматриваемой функции?

4) Опишите, как меняется площадь A кольца с изменением x от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.

Рис. 2.37

1) Площадь кольца $A$ вычисляется как разность площади внешнего круга $S_{внеш}$ и площади внутреннего круга $S_{внутр}$. Площадь круга находится по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга. Радиус внешнего круга по условию равен 2 см. Его площадь: $S_{внеш} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см². Радиус внутреннего круга равен $x$ см. Его площадь: $S_{внутр} = \pi \cdot x^2$ см². Таким образом, зависимость площади кольца $A$ от радиуса внутреннего круга $x$ выражается формулой: $A(x) = S_{внеш} - S_{внутр} = 4\pi - \pi x^2 = \pi(4 - x^2)$.
Ответ: $A(x) = \pi(4 - x^2)$.

2) Функция $A(x) = \pi(4 - x^2)$ является квадратичной функцией вида $y = -ax^2 + c$, где $a=\pi$ и $c=4\pi$. График такой функции — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4\pi)$. Учитывая область определения (см. пункт 3), нас интересует поведение функции на отрезке $x \in [0, 2]$. Найдем значения на границах этого отрезка:

• При $x=0$, $A(0) = \pi(4 - 0^2) = 4\pi$. Это точка вершины параболы.
• При $x=2$, $A(2) = \pi(4 - 2^2) = 0$. Это точка пересечения с осью абсцисс.

График зависимости $A$ от $x$ представляет собой дугу параболы, начинающуюся в точке $(0, 4\pi)$ на оси ординат и заканчивающуюся в точке $(2, 0)$ на оси абсцисс.
Ответ: График функции $A(x)$ на ее области определения — это часть параболы с ветвями, направленными вниз, с вершиной в точке $(0, 4\pi)$ и концом в точке $(2, 0)$.

3) Область определения функции находится из физического смысла переменной $x$, которая обозначает радиус внутреннего круга. 1. Радиус не может быть отрицательным числом, следовательно, $x \ge 0$. 2. Радиус внутреннего круга не может быть больше радиуса внешнего круга, то есть $x \le 2$. При $x=0$ кольцо превращается в сплошной круг радиусом 2, его площадь максимальна и равна $4\pi$. При $x=2$ внутренний и внешний радиусы совпадают, и площадь кольца становится равной нулю. Оба крайних значения допустимы. Таким образом, область определения функции $A(x)$ — это отрезок $[0, 2]$.
Ответ: $D(A) = [0, 2]$ или $0 \le x \le 2$.

4) Функция $A(x) = \pi(4 - x^2)$ является убывающей на своей области определения $[0, 2]$, так как с увеличением радиуса внутреннего круга $x$ площадь кольца $A$ уменьшается.

• При изменении $x$ от 0 до 2: Площадь $A$ уменьшается. В начале промежутка $A(0) = 4\pi$. В конце промежутка $A(2) = 0$. Таким образом, площадь $A$ изменяется от $4\pi$ до 0.
• При изменении $x$ от 0 до 1: Площадь $A$ уменьшается. В начале промежутка $A(0) = 4\pi$. В конце промежутка $A(1) = \pi(4 - 1^2) = 3\pi$. Таким образом, площадь $A$ изменяется от $4\pi$ до $3\pi$.
• При изменении $x$ от 1 до 2: Площадь $A$ уменьшается. В начале промежутка $A(1) = 3\pi$. В конце промежутка $A(2) = 0$. Таким образом, площадь $A$ изменяется от $3\pi$ до 0.

Ответ: При увеличении $x$ от 0 до 2 площадь $A$ монотонно убывает от $4\pi$ до 0. На промежутке от 0 до 1 площадь убывает от $4\pi$ до $3\pi$. На промежутке от 1 до 2 площадь убывает от $3\pi$ до 0.