Номер 284, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. График функции у=ах^2+bх+c. Глава 2. Квадратичная функция - номер 284, страница 113.

284 Запишите уравнение какой-нибудь параболы, вершина которой не лежит на оси $y$ и которая целиком расположена:

а) выше оси $x$;

б) ниже оси $x$.

Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ и вертикальной осью симметрии имеет вид:$y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

По условию задачи, вершина параболы не лежит на оси $y$. Ось $y$ — это прямая $x=0$. Следовательно, абсцисса (координата $x$) вершины параболы должна быть не равна нулю, то есть $x_v \neq 0$.

а) выше оси x;

Чтобы парабола целиком располагалась выше оси $x$, необходимо, чтобы все ее точки имели положительную ординату ($y > 0$). Это достигается при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент $a$ должен быть положительным: $a > 0$.
2. Самая нижняя точка параболы (ее вершина) должна находиться выше оси $x$. Это означает, что ордината вершины $y_v$ должна быть положительной: $y_v > 0$.

Таким образом, нам нужно выбрать такие значения $a$, $x_v$ и $y_v$, чтобы выполнялись условия: $x_v \neq 0$, $a > 0$ и $y_v > 0$.

Выберем, например, следующие значения, удовлетворяющие этим условиям: $x_v = 2$, $y_v = 1$, $a = 1$.

Подставим эти значения в общее уравнение параболы: $y = 1 \cdot (x - 2)^2 + 1$ $y = (x - 2)^2 + 1$

Проверим: вершина параболы находится в точке $(2, 1)$. Так как $x_v = 2 \neq 0$, вершина не на оси $y$. Так как $a=1>0$, ветви направлены вверх. Так как $y_v=1>0$, наименьшее значение функции равно 1, следовательно, вся парабола расположена выше оси $x$. Условия задачи выполнены.

Ответ: $y = (x - 2)^2 + 1$ (существует бесконечно много других правильных ответов, например, $y = 3(x+5)^2+4$).

б) ниже оси x.

Чтобы парабола целиком располагалась ниже оси $x$, необходимо, чтобы все ее точки имели отрицательную ординату ($y < 0$). Это достигается при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным: $a < 0$.
2. Самая верхняя точка параболы (ее вершина) должна находиться ниже оси $x$. Это означает, что ордината вершины $y_v$ должна быть отрицательной: $y_v < 0$.

Таким образом, нам нужно выбрать такие значения $a$, $x_v$ и $y_v$, чтобы выполнялись условия: $x_v \neq 0$, $a < 0$ и $y_v < 0$.

Выберем, например, следующие значения: $x_v = -1$, $y_v = -3$, $a = -1$.

Подставим эти значения в общее уравнение параболы: $y = -1 \cdot (x - (-1))^2 + (-3)$ $y = -(x + 1)^2 - 3$

Проверим: вершина параболы находится в точке $(-1, -3)$. Так как $x_v = -1 \neq 0$, вершина не на оси $y$. Так как $a=-1<0$, ветви направлены вниз. Так как $y_v=-3<0$, наибольшее значение функции равно -3, следовательно, вся парабола расположена ниже оси $x$. Условия задачи выполнены.

Ответ: $y = -(x + 1)^2 - 3$ (существует бесконечно много других правильных ответов, например, $y = -2(x-4)^2-1$).