Номер 295, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. Квадратные неравенства. Глава 2. Квадратичная функция - номер 295, страница 118.

295 a) $(x - 1)(x - 3) \le 0;$

б) $(x + 5)(x - 2) > 0;$

в) $(2x + 6)(x + 4) \ge 0;$

г) $(3x - 3)(x + 1) < 0;$

д) $2x(x - 10) > 0;$

е) $x(2x + 3) \le 0.$

а) Решим неравенство $(x - 1)(x - 3) \le 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x - 3) = 0$.
Корни: $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$; $x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; 1)$, возьмём $x=0$: $(0 - 1)(0 - 3) = 3 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (1; 3)$, возьмём $x=2$: $(2 - 1)(2 - 3) = -1 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (3; +\infty)$, возьмём $x=4$: $(4 - 1)(4 - 3) = 3 > 0$. Знак "+".
4. Поскольку неравенство имеет вид $\le 0$, нас интересуют интервалы со знаком "-" и точки, где выражение равно нулю. Это интервал $(1; 3)$ и его концы.
Решением является отрезок $[1; 3]$.
Ответ: $x \in [1; 3]$.

б) Решим неравенство $(x + 5)(x - 2) > 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $(x + 5)(x - 2) = 0$.
Корни: $x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5$; $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$.
2. Отметим эти точки на числовой оси (точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое). Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 2)$ и $(2; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; -5)$, возьмём $x=-6$: $(-6 + 5)(-6 - 2) = (-1)(-8) = 8 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (-5; 2)$, возьмём $x=0$: $(0 + 5)(0 - 2) = -10 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (2; +\infty)$, возьмём $x=3$: $(3 + 5)(3 - 2) = 8 > 0$. Знак "+".
4. Поскольку неравенство имеет вид $> 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+".
Решением является объединение интервалов $(-\infty; -5)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $(2x + 6)(x + 4) \ge 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $(2x + 6)(x + 4) = 0$.
Корни: $2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x_1 = -3$; $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$.
2. Отметим точки $-4$ и $-3$ на числовой оси. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$ и $(-3; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; -4)$, возьмём $x=-5$: $(2(-5) + 6)(-5 + 4) = (-4)(-1) = 4 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (-4; -3)$, возьмём $x=-3.5$: $(2(-3.5) + 6)(-3.5 + 4) = (-1)(0.5) = -0.5 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (-3; +\infty)$, возьмём $x=0$: $(2(0) + 6)(0 + 4) = 24 > 0$. Знак "+".
4. Поскольку неравенство имеет вид $\ge 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+" и точки, где выражение равно нулю.
Решением является объединение лучей $(-\infty; -4]$ и $[-3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-3; \infty)$.

г) Решим неравенство $(3x - 3)(x + 1) < 0$ методом интервалов.
1. Вынесем общий множитель в первой скобке: $3(x - 1)(x + 1) < 0$. Разделим обе части на 3 (знак неравенства не изменится): $(x - 1)(x + 1) < 0$.
2. Найдём корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$.
Корни: $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$; $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
3. Отметим точки $-1$ и $1$ на числовой оси (точки "выколотые"). Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.
4. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; -1)$, возьмём $x=-2$: $(-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (-1; 1)$, возьмём $x=0$: $(0 - 1)(0 + 1) = -1 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (1; +\infty)$, возьмём $x=2$: $(2 - 1)(2 + 1) = 3 > 0$. Знак "+".
5. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), нас интересует интервал со знаком "-".
Решением является интервал $(-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

д) Решим неравенство $2x(x - 10) > 0$.
1. Разделим обе части на 2: $x(x - 10) > 0$.
2. Найдём корни уравнения $x(x - 10) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$; $x - 10 = 0 \Rightarrow x_2 = 10$.
3. Отметим точки $0$ и $10$ на числовой оси (точки "выколотые"). Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 10)$ и $(10; +\infty)$.
4. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; 0)$, возьмём $x=-1$: $(-1)(-1 - 10) = 11 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (0; 10)$, возьмём $x=1$: $1(1 - 10) = -9 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (10; +\infty)$, возьмём $x=11$: $11(11 - 10) = 11 > 0$. Знак "+".
5. Поскольку неравенство строгое ($> 0$), нас интересуют интервалы со знаком "+".
Решением является объединение интервалов $(-\infty; 0)$ и $(10; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (10; \infty)$.

е) Решим неравенство $x(2x + 3) \le 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $x(2x + 3) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$; $2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x_2 = -1.5$.
2. Отметим точки $-1.5$ и $0$ на числовой оси. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 0)$ и $(0; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале:
- Для $x \in (-\infty; -1.5)$, возьмём $x=-2$: $(-2)(2(-2) + 3) = (-2)(-1) = 2 > 0$. Знак "+".
- Для $x \in (-1.5; 0)$, возьмём $x=-1$: $(-1)(2(-1) + 3) = (-1)(1) = -1 < 0$. Знак "-".
- Для $x \in (0; +\infty)$, возьмём $x=1$: $1(2(1) + 3) = 5 > 0$. Знак "+".
4. Поскольку неравенство имеет вид $\le 0$, нас интересуют интервал со знаком "-" и точки, где выражение равно нулю.
Решением является отрезок $[-1.5; 0]$.
Ответ: $x \in [-1.5; 0]$.