Страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

317 1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

a) $y = \frac{1}{x} - 3;$

б) $y = -\frac{2}{x} + 4.$

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x} + q$, если:

a) $k > 0, q > 0;$

б) $k > 0, q < 0;$

в) $k < 0, q > 0;$

г) $k < 0, q < 0.$

1)

а) $y = \frac{1}{x} - 3$

График данной функции — это гипербола. Он может быть получен из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

Функция не определена при $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

При неограниченном возрастании или убывании $x$ ($x \to \pm\infty$), значение дроби $\frac{1}{x}$ стремится к нулю. Тогда $y$ стремится к -3. Следовательно, прямая $y = -3$ является горизонтальной асимптотой.

Построение графика по точкам:

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Выберем значения $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты.

При $x = -2$, $y = \frac{1}{-2} - 3 = -0.5 - 3 = -3.5$
При $x = -1$, $y = \frac{1}{-1} - 3 = -1 - 3 = -4$
При $x = -0.5$, $y = \frac{1}{-0.5} - 3 = -2 - 3 = -5$
При $x = 0.5$, $y = \frac{1}{0.5} - 3 = 2 - 3 = -1$
При $x = 1$, $y = \frac{1}{1} - 3 = 1 - 3 = -2$
При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} - 3 = 0.5 - 3 = -2.5$

Отметим точки (-2; -3.5), (-1; -4), (-0.5; -5), (0.5; -1), (1; -2), (2; -2.5) на координатной плоскости и проведем через них две плавные кривые (ветви гиперболы), приближающиеся к асимптотам $x=0$ и $y=-3$. Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы находятся в 1-й и 3-й четвертях относительно нового центра $(0, -3)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=-3$. График — гипербола с ветвями в I, III и IV координатных четвертях.

б) $y = -\frac{2}{x} + 4$

График данной функции — это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{2}{x}$ путем параллельного переноса на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy), так как при $x=0$ функция не определена.

Горизонтальная асимптота: $y = 4$, так как при $x \to \pm\infty$, дробь $-\frac{2}{x} \to 0$ и $y \to 4$.

Построение графика по точкам:

Составим таблицу значений:

При $x = -2$, $y = -\frac{2}{-2} + 4 = 1 + 4 = 5$
При $x = -1$, $y = -\frac{2}{-1} + 4 = 2 + 4 = 6$
При $x = 1$, $y = -\frac{2}{1} + 4 = -2 + 4 = 2$
При $x = 2$, $y = -\frac{2}{2} + 4 = -1 + 4 = 3$
При $x = 4$, $y = -\frac{2}{4} + 4 = -0.5 + 4 = 3.5$

Отметим точки (-2; 5), (-1; 6), (1; 2), (2; 3), (4; 3.5) и проведем через них ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам $x=0$ и $y=4$. Поскольку коэффициент $k=-2 < 0$, ветви гиперболы находятся во 2-й и 4-й четвертях относительно нового центра $(0, 4)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=4$. График — гипербола с ветвями в I, II и IV координатных четвертях.

2)

График функции $y = \frac{k}{x} + q$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ (ось Oy) и горизонтальной асимптотой $y=q$. Расположение ветвей гиперболы в координатной плоскости зависит от знаков параметров $k$ и $q$.

а) $k > 0, q > 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ проходит выше оси Ox. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот. Одна ветвь целиком лежит в I координатной четверти. Другая ветвь начинается во II четверти, пересекает ось Ox (в точке с абсциссой $x = -k/q < 0$) и уходит в III четверть.

Ответ: Асимптоты $x=0$ и $y=q$ (где $q>0$). Ветви расположены в I, II и III координатных четвертях.

б) $k > 0, q < 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ проходит ниже оси Ox. Так как $k > 0$, ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот. Одна ветвь целиком лежит в III координатной четверти. Другая ветвь начинается в I четверти, пересекает ось Ox (в точке с абсциссой $x = -k/q > 0$) и уходит в IV четверть.

Ответ: Асимптоты $x=0$ и $y=q$ (где $q<0$). Ветви расположены в I, III и IV координатных четвертях.

в) $k < 0, q > 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ проходит выше оси Ox. Так как $k < 0$, ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. Одна ветвь целиком лежит во II координатной четверти. Другая ветвь начинается в I четверти, пересекает ось Ox (в точке с абсциссой $x = -k/q > 0$) и уходит в IV четверть.

Ответ: Асимптоты $x=0$ и $y=q$ (где $q>0$). Ветви расположены в I, II и IV координатных четвертях.

г) $k < 0, q < 0$

Горизонтальная асимптота $y=q$ проходит ниже оси Ox. Так как $k < 0$, ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. Одна ветвь целиком лежит в IV координатной четверти. Другая ветвь начинается во II четверти, пересекает ось Ox (в точке с абсциссой $x = -k/q < 0$) и уходит в III четверть.

Ответ: Асимптоты $x=0$ и $y=q$ (где $q<0$). Ветви расположены в II, III и IV координатных четвертях.

318 1) Укажите асимптоты графика функции и постройте этот график по точкам:

а) $y = \frac{2}{x+3}$;

б) $y = -\frac{1}{x-4}$.

2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой $y = \frac{k}{x+p}$, если:

а) $k > 0, p > 0$;

б) $k > 0, p < 0$;

в) $k < 0, p > 0$;

г) $k < 0, p < 0$.

1)

а) $y = \frac{2}{x+3}$

1. Асимптоты.
График функции является гиперболой, полученной сдвигом графика $y = \frac{2}{x}$ вдоль оси абсцисс.

• Вертикальная асимптота находится там, где знаменатель дроби обращается в ноль. $x + 3 = 0$, следовательно, $x = -3$ — это уравнение вертикальной асимптоты.
• Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при $x \to \pm\infty$. Когда $x$ стремится к бесконечности, значение дроби $\frac{2}{x+3}$ стремится к нулю. Следовательно, $y = 0$ (ось Ox) — это уравнение горизонтальной асимптоты.

2. Построение графика по точкам.
Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы будут расположены в первой и третьей четвертях относительно новых осей (асимптот $x=-3$ и $y=0$).
Составим таблицу значений для нескольких точек:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавными линиями, приближаясь к асимптотам.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -3$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. График — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

б) $y = -\frac{1}{x-4}$

1. Асимптоты.
График этой функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{1}{x}$.

• Вертикальная асимптота: $x - 4 = 0$, следовательно, $x = 4$.
• Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Следовательно, $y=0$ (ось Ox).

2. Построение графика по точкам.
Так как коэффициент $k=-1 < 0$, ветви гиперболы будут расположены во второй и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот $x=4$ и $y=0$).
Составим таблицу значений:

Построим график по этим точкам.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 4$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$. График — гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

2)

Функция $y = \frac{k}{x+p}$ задает гиперболу. Ее график получается из графика $y = \frac{k}{x}$ сдвигом вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота задается уравнением $x+p=0$, то есть $x=-p$. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, $y=0$.Положение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно асимптот.
• Если $k < 0$, ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно асимптот.

Положение вертикальной асимптоты $x=-p$ зависит от знака $p$:

• Если $p > 0$, то $-p < 0$, и асимптота $x=-p$ находится слева от оси Oy (сдвиг влево).
• Если $p < 0$, то $-p > 0$, и асимптота $x=-p$ находится справа от оси Oy (сдвиг вправо).

а) $k > 0, p > 0$

Асимптота $x=-p$ находится слева от оси Oy. Так как $k > 0$, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно асимптот.

Ответ: Вертикальная асимптота $x = -p$ находится слева от оси Oy. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

б) $k > 0, p < 0$

Асимптота $x=-p$ находится справа от оси Oy. Так как $k > 0$, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно асимптот.

Ответ: Вертикальная асимптота $x = -p$ находится справа от оси Oy. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

в) $k < 0, p > 0$

Асимптота $x=-p$ находится слева от оси Oy. Так как $k < 0$, ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно асимптот.

Ответ: Вертикальная асимптота $x = -p$ находится слева от оси Oy. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

г) $k < 0, p < 0$

Асимптота $x=-p$ находится справа от оси Oy. Так как $k < 0$, ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно асимптот.

Ответ: Вертикальная асимптота $x = -p$ находится справа от оси Oy. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

319 Постройте в координатной плоскости асимптоты графика заданной функции и изобразите этот график схематически:

a) $y = \frac{1}{x+3} - 2$;

б) $y = -\frac{3}{x+4} + 6$;

в) $y = \frac{2}{x-1} - 4$;

г) $y = -\frac{6}{x-3} - 2$.

В каждом случае найдите координаты точек пересечения графика с осью x и осью y и отметьте эти точки на рисунке.

Для решения задачи мы будем использовать общие свойства функции вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, которая является гиперболой, смещенной относительно начала координат. Асимптотами такой функции являются прямые $x=a$ (вертикальная асимптота) и $y=b$ (горизонтальная асимптота). Точка пересечения асимптот $(a, b)$ является центром симметрии графика.

а) $y = \frac{1}{x+3} - 2$

1. Асимптоты графика.
Данная функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ при $k=1$, $a=-3$, $b=-2$.
Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель дроби равен нулю: $x+3=0$, откуда $x=-3$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.
Таким образом, асимптоты — прямые $x=-3$ и $y=-2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = \frac{1}{0+3} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1-6}{3} = -\frac{5}{3}$.
Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, -5/3)$.
Для нахождения точки пересечения с осью $Ox$, приравняем $y$ к нулю:
$0 = \frac{1}{x+3} - 2 \implies 2 = \frac{1}{x+3} \implies 2(x+3) = 1 \implies 2x+6=1 \implies 2x=-5 \implies x = -2.5$.
Точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(-2.5, 0)$.

3. Построение графика.
График функции — это гипербола $y=1/x$, смещенная на 3 единицы влево по оси $Ox$ и на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Так как коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно нового центра симметрии $(-3, -2)$. Строим асимптоты, отмечаем точки пересечения с осями и схематически проводим ветви гиперболы.

Ответ: асимптоты $x=-3$, $y=-2$; точки пересечения с осями: $(-2.5, 0)$ и $(0, -5/3)$.

б) $y = -\frac{3}{x+4} + 6$

1. Асимптоты графика.
Функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ при $k=-3$, $a=-4$, $b=6$.
Вертикальная асимптота: $x+4=0 \implies x=-4$.
Горизонтальная асимптота: $y=6$.

2. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y(0) = -\frac{3}{0+4} + 6 = -\frac{3}{4} + 6 = \frac{-3+24}{4} = \frac{21}{4} = 5.25$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 21/4)$.
При $y=0$: $0 = -\frac{3}{x+4} + 6 \implies \frac{3}{x+4} = 6 \implies 3 = 6(x+4) \implies 3 = 6x+24 \implies 6x=-21 \implies x = -3.5$.
Точка пересечения с осью $Ox$ — $(-3.5, 0)$.

3. Построение графика.
График функции — это гипербола $y=-3/x$, смещенная на 4 единицы влево и на 6 единиц вверх. Так как $k=-3 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно нового центра симметрии $(-4, 6)$.

Ответ: асимптоты $x=-4$, $y=6$; точки пересечения с осями: $(-3.5, 0)$ и $(0, 21/4)$.

в) $y = \frac{2}{x-1} - 4$

1. Асимптоты графика.
Функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ при $k=2$, $a=1$, $b=-4$.
Вертикальная асимптота: $x-1=0 \implies x=1$.
Горизонтальная асимптота: $y=-4$.

2. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y(0) = \frac{2}{0-1} - 4 = -2 - 4 = -6$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, -6)$.
При $y=0$: $0 = \frac{2}{x-1} - 4 \implies 4 = \frac{2}{x-1} \implies 4(x-1) = 2 \implies 4x-4=2 \implies 4x=6 \implies x=1.5$.
Точка пересечения с осью $Ox$ — $(1.5, 0)$.

3. Построение графика.
График функции — это гипербола $y=2/x$, смещенная на 1 единицу вправо и на 4 единицы вниз. Так как $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно нового центра симметрии $(1, -4)$.

Ответ: асимптоты $x=1$, $y=-4$; точки пересечения с осями: $(1.5, 0)$ и $(0, -6)$.

г) $y = -\frac{6}{x-3} - 2$

1. Асимптоты графика.
Функция имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$ при $k=-6$, $a=3$, $b=-2$.
Вертикальная асимптота: $x-3=0 \implies x=3$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y(0) = -\frac{6}{0-3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 0)$.
Так как точка $(0,0)$ лежит на оси $Oy$, она же является точкой пересечения и с осью $Ox$. Проверим: При $y=0$: $0 = -\frac{6}{x-3} - 2 \implies 2 = -\frac{6}{x-3} \implies 2(x-3) = -6 \implies 2x-6=-6 \implies 2x=0 \implies x=0$.
Точка пересечения с осями — начало координат $(0, 0)$.

3. Построение графика.
График функции — это гипербола $y=-6/x$, смещенная на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Так как $k=-6 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно нового центра симметрии $(3, -2)$.

Ответ: асимптоты $x=3$, $y=-2$; точка пересечения с осями: $(0, 0)$.

320 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x+4}{x+2}$;

б) $y = \frac{3-x}{x-1}$;

в) $y = \frac{x+1}{x+2}$.

Совет. В качестве образца воспользуйтесь примером 4, разобранным в тексте.

а) $y = \frac{x+4}{x+2}$

Для построения графика данной дробно-линейной функции преобразуем ее к виду $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$. Графиком такой функции является гипербола, полученная смещением графика $y = \frac{k}{x}$.

1. Преобразование выражения.
Выделим целую часть в дроби, представив числитель через знаменатель: $y = \frac{x+4}{x+2} = \frac{(x+2) + 2}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{2}{x+2} = 1 + \frac{2}{x+2}$.
Итак, функция имеет вид $y = \frac{2}{x+2} + 1$.

2. Определение асимптот.
График данной функции является смещенным графиком функции $y = \frac{2}{x}$. Смещение происходит на 2 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель равен нулю: $x+2=0$, то есть $x=-2$.
Горизонтальная асимптота соответствует смещению по оси Oy: $y=1$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
При $x=0$ (пересечение с осью Oy): $y = \frac{0+4}{0+2} = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $y=0$ (пересечение с осью Ox): $0 = \frac{x+4}{x+2}$, откуда $x+4=0 \implies x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек для построения.
Возьмем значения $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты:
Для $x=-3$, $y = \frac{-3+4}{-3+2} = -1$. Точка $(-3, -1)$.
Для $x=-1$, $y = \frac{-1+4}{-1+2} = 3$. Точка $(-1, 3)$.

5. Построение графика.
Строим систему координат, проводим пунктиром асимптоты $x=-2$ и $y=1$. Отмечаем вычисленные точки: $(0, 2)$, $(-4, 0)$, $(-3, -1)$, $(-1, 3)$. Соединяем точки плавными линиями, получая две ветви гиперболы. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно пересечения асимптот.

Ответ: График функции $y = \frac{x+4}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(-4, 0)$ и ось ординат в точке $(0, 2)$.

б) $y = \frac{3-x}{x-1}$

Это также дробно-линейная функция. Преобразуем ее к стандартному виду $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$.

1. Преобразование выражения.
$y = \frac{3-x}{x-1} = \frac{-(x-3)}{x-1} = \frac{-(x-1-2)}{x-1} = -\left(\frac{x-1}{x-1} - \frac{2}{x-1}\right) = -\left(1 - \frac{2}{x-1}\right) = -1 + \frac{2}{x-1}$.
Итак, функция имеет вид $y = \frac{2}{x-1} - 1$.

2. Определение асимптот.
График получается из $y=\frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x-1=0 \implies x=1$.
Горизонтальная асимптота: $y=-1$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y = \frac{3-0}{0-1} = -3$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
При $y=0$: $0 = \frac{3-x}{x-1} \implies 3-x=0 \implies x=3$. Точка пересечения с осью Ox: $(3, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек.
Для $x=2$, $y = \frac{3-2}{2-1} = 1$. Точка $(2, 1)$.
Для $x=-1$, $y = \frac{3-(-1)}{-1-1} = \frac{4}{-2} = -2$. Точка $(-1, -2)$.

5. Построение графика.
Строим асимптоты $x=1$ и $y=-1$. Отмечаем точки $(0, -3)$, $(3, 0)$, $(2, 1)$, $(-1, -2)$. Так как $k=2>0$, ветви гиперболы находятся в I и III четвертях относительно новых осей. Соединяем точки плавными кривыми, приближающимися к асимптотам.

Ответ: График функции $y = \frac{3-x}{x-1}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(3, 0)$ и ось ординат в точке $(0, -3)$.

в) $y = \frac{x+1}{x+2}$

Аналогично предыдущим пунктам, преобразуем функцию и найдем ее характеристики.

1. Преобразование выражения.
$y = \frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+2)-1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}$.
Функция имеет вид $y = \frac{-1}{x+2} + 1$.

2. Определение асимптот.
График получается из $y=\frac{-1}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x+2=0 \implies x=-2$.
Горизонтальная асимптота: $y=1$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
При $x=0$: $y = \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0.5)$.
При $y=0$: $0 = \frac{x+1}{x+2} \implies x+1=0 \implies x=-1$. Точка пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек.
Для $x=-3$, $y = \frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2$. Точка $(-3, 2)$.
Для $x=-4$, $y = \frac{-4+1}{-4+2} = \frac{-3}{-2} = 1.5$. Точка $(-4, 1.5)$.

5. Построение графика.
Строим асимптоты $x=-2$ и $y=1$. Отмечаем точки $(0, 0.5)$, $(-1, 0)$, $(-3, 2)$, $(-4, 1.5)$. Так как коэффициент $k=-1<0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно пересечения асимптот. Соединяем точки плавными кривыми.

Ответ: График функции $y = \frac{x+1}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$ и ось ординат в точке $(0, 0.5)$.

321 Постройте график функции:

а) $y = \frac{2x+7}{x+3}$

б) $y = \frac{4x+2}{x+1}$

Образец. Построим график функции $y = \frac{4x-5}{x-2}$.

Преобразуем дробь $\frac{4x-5}{x-2}$, выделив её целую часть:

$\frac{4x-5}{x-2} = \frac{4(x-2)+3}{x-2} = 4 + \frac{3}{x-2}$. Теперь легко найти асимптоты.

Продолжите решение.

Образец.

Продолжим решение, начатое в образце, для функции $y=\frac{4x-5}{x-2}$.

Преобразование функции путем выделения целой части уже дано: $y = \frac{4x-5}{x-2} = \frac{4(x-2)+3}{x-2} = 4 + \frac{3}{x-2}$

1. График данной функции — это гипербола. Его можно получить из графика функции $y=\frac{3}{x}$ с помощью параллельного переноса.

2. Определим асимптоты.

• Вертикальная асимптота: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \ne 0$, откуда $x \ne 2$. Уравнение вертикальной асимптоты: $x=2$.
• Горизонтальная асимптота: при неограниченном возрастании $|x|$, значение дроби $\frac{3}{x-2}$ стремится к нулю, следовательно, $y$ стремится к 4. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y=4$.

3. Таким образом, для построения графика нужно сдвинуть график функции $y=\frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Новые оси координат (асимптоты) будут проходить через точку $(2; 4)$.

4. Найдем несколько точек для более точного построения.

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = 4 + \frac{3}{0-2} = 4 - 1.5 = 2.5$. Точка $(0; 2.5)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = 4 + \frac{3}{x-2} \Rightarrow \frac{3}{x-2} = -4 \Rightarrow 3 = -4(x-2) \Rightarrow 3 = -4x+8 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x=1.25$. Точка $(1.25; 0)$.
• Дополнительные точки: при $x=3$, $y = 4 + \frac{3}{3-2} = 7$. Точка $(3; 7)$. при $x=5$, $y = 4 + \frac{3}{5-2} = 5$. Точка $(5; 5)$. при $x=1$, $y = 4 + \frac{3}{1-2} = 1$. Точка $(1; 1)$.

5. Строим асимптоты $x=2$ и $y=4$. Отмечаем вычисленные точки и плавно соединяем их, получая две ветви гиперболы, расположенные в первой и третьей четвертях относительно новых осей.

Ответ: График функции $y=\frac{4x-5}{x-2}$ является гиперболой, полученной сдвигом графика $y=\frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо и на 4 единицы вверх. Асимптоты графика — прямые $x=2$ и $y=4$. График проходит через точки $(1.25; 0)$, $(0; 2.5)$, $(3; 7)$, $(1; 1)$.

а) $y=\frac{2x+7}{x+3}$

1. Для построения графика преобразуем функцию, выделив целую часть: $y = \frac{2x+7}{x+3} = \frac{2(x+3) - 6 + 7}{x+3} = \frac{2(x+3)+1}{x+3} = 2 + \frac{1}{x+3}$.

2. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y=\frac{1}{x}$ с помощью параллельного переноса.

• Вертикальная асимптота: $x+3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$. Уравнение: $x=-3$.
• Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $\frac{1}{x+3} \to 0$, следовательно $y \to 2$. Уравнение: $y=2$.

3. Построение выполняется сдвигом графика $y=\frac{1}{x}$ на 3 единицы влево (т.к. $x+3$) и на 2 единицы вверх. Центр новой системы координат — точка $(-3; 2)$.

4. Найдем точки для построения.

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{2(0)+7}{0+3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$. Точка $(0; \frac{7}{3})$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = 2 + \frac{1}{x+3} \Rightarrow \frac{1}{x+3} = -2 \Rightarrow 1 = -2(x+3) \Rightarrow 1 = -2x-6 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = -3.5$. Точка $(-3.5; 0)$.
• Дополнительные точки: при $x=-2$, $y = 2 + \frac{1}{-2+3} = 3$. Точка $(-2; 3)$. при $x=-4$, $y = 2 + \frac{1}{-4+3} = 1$. Точка $(-4; 1)$.

5. Строим асимптоты $x=-3$ и $y=2$. Так как коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно новых осей. Отмечаем точки и строим график.

Ответ: График функции $y=\frac{2x+7}{x+3}$ является гиперболой, полученной сдвигом графика $y=\frac{1}{x}$ на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх. Асимптоты графика — прямые $x=-3$ и $y=2$. График проходит через точки $(-3.5; 0)$, $(0; \frac{7}{3})$, $(-2; 3)$, $(-4; 1)$.

б) $y=\frac{4x+2}{x+1}$

1. Выделим целую часть функции: $y = \frac{4x+2}{x+1} = \frac{4(x+1) - 4 + 2}{x+1} = \frac{4(x+1)-2}{x+1} = 4 - \frac{2}{x+1}$.

2. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y=-\frac{2}{x}$ с помощью параллельного переноса.

• Вертикальная асимптота: $x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$. Уравнение: $x=-1$.
• Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $-\frac{2}{x+1} \to 0$, следовательно $y \to 4$. Уравнение: $y=4$.

3. Построение выполняется сдвигом графика $y=-\frac{2}{x}$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх. Центр новой системы координат — точка $(-1; 4)$.

4. Найдем точки для построения.

• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4(0)+2}{0+1} = 2$. Точка $(0; 2)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = 4 - \frac{2}{x+1} \Rightarrow 4 = \frac{2}{x+1} \Rightarrow 4(x+1) = 2 \Rightarrow 4x+4 = 2 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -0.5$. Точка $(-0.5; 0)$.
• Дополнительные точки: при $x=1$, $y = 4 - \frac{2}{1+1} = 3$. Точка $(1; 3)$. при $x=-2$, $y = 4 - \frac{2}{-2+1} = 4+2=6$. Точка $(-2; 6)$.

5. Строим асимптоты $x=-1$ и $y=4$. Так как коэффициент $k=-2 < 0$, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно новых осей. Отмечаем точки и строим график.

Ответ: График функции $y=\frac{4x+2}{x+1}$ является гиперболой, полученной сдвигом графика $y=-\frac{2}{x}$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх. Асимптоты графика — прямые $x=-1$ и $y=4$. График проходит через точки $(-0.5; 0)$, $(0; 2)$, $(1; 3)$, $(-2; 6)$.