Страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

323 a) $y = |2x - 4|;$

В) $y = |x^2 - x - 2|;$

Д) $y = \frac{1}{|x - 3|}. $

б) $y = |x^2 - 3|;$

Г) $y = \frac{6}{|x|}; $

а) $y = |2x - 4|$

Для построения графика функции вида $y = |f(x)|$, сначала строим график функции $y = f(x)$, а затем ту часть графика, которая расположена ниже оси абсцисс (Ox), симметрично отражаем относительно этой оси. Часть графика, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений.

1. Рассмотрим функцию без модуля: $y_1 = 2x - 4$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой найдем две точки. Если $x = 0$, то $y_1 = 2(0) - 4 = -4$, получаем точку $(0, -4)$. Если $y_1 = 0$, то $2x - 4 = 0$, откуда $x = 2$, получаем точку $(2, 0)$.

2. Проведем прямую через точки $(0, -4)$ и $(2, 0)$.

3. Теперь применим операцию взятия модуля. Часть прямой, которая находится ниже оси Ox (где $y_1 < 0$), соответствует значениям $x < 2$. Эту часть мы отражаем симметрично относительно оси Ox. Например, точка $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$. Часть прямой, которая находится на оси Ox или выше (где $y_1 \ge 0$), соответствует значениям $x \ge 2$. Эта часть остается на своем месте.

В результате график функции $y = |2x - 4|$ будет состоять из двух лучей, исходящих из точки $(2, 0)$.
Функцию можно также записать в виде системы:

$ y = \begin{cases} 2x - 4, & \text{если } 2x - 4 \ge 0, \text{ то есть } x \ge 2 \\ -(2x - 4), & \text{если } 2x - 4 < 0, \text{ то есть } x < 2 \end{cases} $

что равносильно

$ y = \begin{cases} 2x - 4, & \text{если } x \ge 2 \\ 4 - 2x, & \text{если } x < 2 \end{cases} $

Ответ: График функции представляет собой "угол", вершина которого находится в точке $(2, 0)$. Для $x \ge 2$ график совпадает с прямой $y=2x-4$, а для $x < 2$ — с прямой $y=4-2x$.

б) $y = |x^2 - 3|$

Используем тот же алгоритм, что и в предыдущем пункте.

1. Рассмотрим функцию без модуля: $y_1 = x^2 - 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Эта парабола получена из графика $y=x^2$ сдвигом на 3 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$, а ветви направлены вверх.

2. Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$.

3. Применим модуль. Часть параболы, которая находится ниже оси Ox (на интервале $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Вершина $(0, -3)$ перейдет в точку $(0, 3)$. Части параболы, которые находятся на оси Ox или выше (при $x \le -\sqrt{3}$ и $x \ge \sqrt{3}$), остаются без изменений.

Таким образом, функция описывается системой:

$ y = \begin{cases} x^2 - 3, & \text{если } x^2 - 3 \ge 0, \text{ т.е. } x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty) \\ -(x^2 - 3), & \text{если } x^2 - 3 < 0, \text{ т.е. } x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \end{cases} $

или

$ y = \begin{cases} x^2 - 3, & \text{при } x \le -\sqrt{3} \text{ или } x \ge \sqrt{3} \\ 3 - x^2, & \text{при } -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} \end{cases} $

Ответ: График функции получается из параболы $y = x^2 - 3$ путем отражения ее части, лежащей под осью Ox (на интервале $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$), симметрично относительно оси Ox. Остальные части графика остаются без изменений. Точки $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$ являются точками излома графика.

в) $y = |x^2 - x - 2|$

1. Рассмотрим функцию без модуля: $y_1 = x^2 - x - 2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot 1) = 1/2$.$y_в = (1/2)^2 - 1/2 - 2 = 1/4 - 2/4 - 8/4 = -9/4$. Вершина находится в точке $(1/2, -9/4)$.

3. Найдем нули функции: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Применим модуль. Часть параболы, которая находится ниже оси Ox (между корнями $x=-1$ и $x=2$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Вершина $(1/2, -9/4)$ перейдет в точку $(1/2, 9/4)$. Части параболы, которые находятся на оси Ox или выше (при $x \le -1$ и $x \ge 2$), остаются без изменений.

Функция описывается системой:

$ y = \begin{cases} x^2 - x - 2, & \text{если } x^2 - x - 2 \ge 0, \text{ т.е. } x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty) \\ -(x^2 - x - 2), & \text{если } x^2 - x - 2 < 0, \text{ т.е. } x \in (-1, 2) \end{cases} $

или

$ y = \begin{cases} x^2 - x - 2, & \text{при } x \le -1 \text{ или } x \ge 2 \\ -x^2 + x + 2, & \text{при } -1 < x < 2 \end{cases} $

Ответ: График функции получается из параболы $y = x^2 - x - 2$ путем отражения ее части, лежащей под осью Ox (на интервале $(-1, 2)$), симметрично относительно оси Ox. Остальные части графика остаются без изменений. Точки $(-1, 0)$ и $(2, 0)$ являются точками излома.

г) $y = \frac{6}{|x|}$

Для построения графика функции вида $y = f(|x|)$, сначала строят график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$. Затем отражают эту часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Исходная часть графика для $x < 0$ при этом удаляется.

1. Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = 6/x$. Это гипербола, ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси Ox и Oy.

2. Построим часть графика $y_1 = 6/x$ для $x > 0$. Это ветвь гиперболы в I четверти. Она проходит, например, через точки $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$.

3. Отразим эту ветвь симметрично относительно оси Oy. Получим ветвь во II четверти. Это и будет вторая часть искомого графика.

4. Объединение этих двух ветвей и есть график функции $y = 6/|x|$. Функция является четной, так как $y(-x) = 6/|-x| = 6/|x| = y(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Область определения: $x \neq 0$. Область значений: $y > 0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей. Для $x > 0$ он совпадает с графиком гиперболы $y = 6/x$ (ветвь в I четверти). Вторая ветвь (для $x < 0$) является зеркальным отражением первой относительно оси Oy. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=0$.

д) $y = \frac{1}{|x - 3|}$

График этой функции можно получить из графика известной функции при помощи геометрических преобразований. В частности, из графика функции $y = 1/|x|$ сдвигом.

1. Рассмотрим график базовой функции $y_0 = 1/|x|$. Как мы выяснили в пункте г), это две ветви гиперболы, расположенные в I и II четвертях, симметричные относительно оси Oy. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$.

2. График функции $y = f(x-a)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси Ox на $a$ единиц. В нашем случае $f(x) = 1/|x|$ и $a=3$. Значит, нам нужно сдвинуть график $y = 1/|x|$ на 3 единицы вправо.

3. При сдвиге графика $y_0 = 1/|x|$ на 3 единицы вправо, вертикальная асимптота $x=0$ также сдвигается на 3 единицы вправо и становится прямой $x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.

Итоговый график состоит из двух ветвей, расположенных справа и слева от прямой $x=3$. Обе ветви находятся выше оси Ox. График симметричен относительно прямой $x=3$.

Функцию можно также записать в виде:

$ y = \begin{cases} \frac{1}{x-3}, & \text{если } x-3 > 0, \text{ т.е. } x > 3 \\ \frac{1}{-(x-3)}, & \text{если } x-3 < 0, \text{ т.е. } x < 3 \end{cases} $

что равносильно

$ y = \begin{cases} \frac{1}{x-3}, & \text{если } x > 3 \\ \frac{1}{3-x}, & \text{если } x < 3 \end{cases} $

Ответ: График функции получается сдвигом графика функции $y=1/|x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота — прямая $x=3$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$. График состоит из двух ветвей, расположенных над осью Ox и симметричных относительно прямой $x=3$.

324 a) $y = |x| - 2x$;

б) $y = x^2 + 3|x|$;

В) $y = (5 - |x|)(|x| + 1)$;

Г) $y = (5 - |x|)(x + 1)$;

Д) $y = \frac{1}{|x| - 3}$.

а) $y = |x| - 2x$

Для решения необходимо раскрыть модуль $|x|$, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x \geq 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x - 2x = -x$.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x - 2x = -3x$.

Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции. График этой функции будет состоять из двух лучей, выходящих из начала координат.

Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \geq 0 \\ -3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

б) $y = x^2 + 3|x|$

Заметим, что функция является четной, поскольку $x$ входит в уравнение либо в четной степени ($x^2$), либо под знаком модуля ($|x|$). Это означает, что $y(x) = y(-x)$ для любого $x$ из области определения, и график функции симметричен относительно оси ординат (OY).

Раскроем модуль для неотрицательных значений $x$.

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3x$.
Это часть параболы с ветвями вверх.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3(-x) = x^2 - 3x$.
Это также часть параболы с ветвями вверх. Этот результат можно было получить из соображений симметрии, заменив $x$ на $-x$ в выражении для $x \geq 0$.

Итак, функция может быть записана в кусочной форме:

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 - 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

в) $y = (5 - |x|)(|x| + 1)$

Эта функция также является четной, так как переменная $x$ входит в ее определение только под знаком модуля. График функции симметричен относительно оси OY.

Раскроем модуль для двух случаев.

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = (5 - x)(x + 1) = 5x + 5 - x^2 - x = -x^2 + 4x + 5$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = (5 - (-x))(-x + 1) = (5 + x)(1 - x) = 5 - 5x + x - x^2 = -x^2 - 4x + 5$.
Это также часть параболы с ветвями вниз.

Кусочно-заданная форма функции:

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 5, & \text{если } x \geq 0 \\ -x^2 - 4x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

г) $y = (5 - |x|)(x + 1)$

Данная функция не является ни четной, ни нечетной. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = (5 - x)(x + 1) = -x^2 + 4x + 5$.
На этом интервале график является частью параболы с ветвями вниз.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = (5 - (-x))(x + 1) = (5 + x)(x + 1) = x^2 + 6x + 5$.
На этом интервале график является частью параболы с ветвями вверх.

Функция непрерывна в точке $x=0$, так как значение в этой точке для обеих частей совпадает и равно 5.

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 5, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 6x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

д) $y = \frac{1}{|x| - 3}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому:
$|x| - 3 \neq 0 \implies |x| \neq 3$.
Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x| - 3} = \frac{1}{|x| - 3} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.

Раскроем модуль.

1. Если $x \geq 0$ (и $x \neq 3$), то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{1}{x - 3}$.
Это гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$.

2. Если $x < 0$ (и $x \neq -3$), то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{1}{-x - 3} = -\frac{1}{x + 3}$.
Это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-3$.

Горизонтальная асимптота для обоих случаев $y=0$, так как при $x \to \pm\infty$, знаменатель стремится к бесконечности.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{1}{x - 3}, & \text{если } x \geq 0, x \neq 3 \\ \frac{1}{-x - 3}, & \text{если } x < 0, x \neq -3 \end{cases}$. Область определения: $x \neq \pm 3$.