Страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

322 Найдите асимптоты графика функции и изобразите этот график схематически:

а) $y = \frac{6x}{2x + 1}$;

б) $y = \frac{x + 3}{4 - 2x}$;

в) $y = \frac{3x - 5}{2x + 8}$.

Для нахождения асимптот и построения графика дробно-линейной функции вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ будем следовать общему плану:

1. Вертикальная асимптота. Она существует в точке, где знаменатель дроби равен нулю, а числитель не равен нулю. Уравнение вертикальной асимптоты: $x = -d/c$.
2. Горизонтальная асимптота. Она находится путем вычисления предела функции при $x \to \pm\infty$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = a/c$.
3. Схематический график. Для построения графика (гиперболы) найдем точки пересечения с осями координат:
   • С осью OY: подставляем $x=0$.
   • С осью OX: подставляем $y=0$ (т.е. приравниваем числитель к нулю).
   Затем на координатной плоскости строим асимптоты и, используя точки пересечения, рисуем ветви гиперболы.

а) $y = \frac{6x}{2x+1}$

1. Вертикальная асимптота.
Приравниваем знаменатель к нулю: $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
При $x = -0.5$ числитель $6x = 6(-0.5) = -3 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = -0.5$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота.
Находим предел функции при $x \to \infty$:
$\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{6}{2} = 3$.
Следовательно, прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой.

3. Построение графика.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- При $x=0$, $y = \frac{6 \cdot 0}{2 \cdot 0 + 1} = 0$. Точка пересечения с осями — $(0, 0)$.
- При $y=0$, $6x = 0 \implies x=0$. Точка пересечения та же.
График проходит через начало координат. Эта точка находится правее вертикальной асимптоты $x=-0.5$ и ниже горизонтальной $y=3$. Таким образом, одна ветвь гиперболы расположена в нижней правой четверти относительно асимптот. Вторая ветвь, соответственно, будет в левой верхней четверти.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -0.5$, горизонтальная асимптота: $y = 3$. График — гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях относительно своих асимптот.

б) $y = \frac{x+3}{4-2x}$

1. Вертикальная асимптота.
Приравниваем знаменатель к нулю: $4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
При $x=2$ числитель $x+3 = 2+3 = 5 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = 2$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота.
Находим предел функции при $x \to \infty$:
$\lim_{x \to \infty} \frac{x+3}{4-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{4}{x} - 2} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
Следовательно, прямая $y = -0.5$ является горизонтальной асимптотой.

3. Построение графика.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- При $x=0$, $y = \frac{0+3}{4-0} = \frac{3}{4} = 0.75$. Точка пересечения с OY — $(0, 0.75)$.
- При $y=0$, $x+3=0 \implies x=-3$. Точка пересечения с OX — $(-3, 0)$.
Обе точки находятся левее вертикальной асимптоты $x=2$ и выше горизонтальной $y=-0.5$. Таким образом, одна ветвь гиперболы расположена в левой верхней четверти относительно асимптот. Вторая ветвь будет в правой нижней четверти.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 2$, горизонтальная асимптота: $y = -0.5$. График — гипербола, расположенная во второй и четвертой четвертях относительно своих асимптот.

в) $y = \frac{3x-5}{2x+8}$

1. Вертикальная асимптота.
Приравниваем знаменатель к нулю: $2x + 8 = 0 \implies 2x = -8 \implies x = -4$.
При $x=-4$ числитель $3x-5 = 3(-4)-5 = -17 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = -4$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота.
Находим предел функции при $x \to \infty$:
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x-5}{2x+8} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x}}{2 + \frac{8}{x}} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Следовательно, прямая $y = 1.5$ является горизонтальной асимптотой.

3. Построение графика.
Найдем точки пересечения с осями координат:
- При $x=0$, $y = \frac{3 \cdot 0 - 5}{2 \cdot 0 + 8} = -\frac{5}{8} = -0.625$. Точка пересечения с OY — $(0, -0.625)$.
- При $y=0$, $3x-5=0 \implies 3x=5 \implies x=\frac{5}{3} \approx 1.67$. Точка пересечения с OX — $(\frac{5}{3}, 0)$.
Обе точки находятся правее вертикальной асимптоты $x=-4$ и ниже горизонтальной $y=1.5$. Таким образом, одна ветвь гиперболы расположена в правой нижней четверти относительно асимптот. Вторая ветвь будет в левой верхней четверти.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -4$, горизонтальная асимптота: $y = 1.5$. График — гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях относительно своих асимптот.