Страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

8 Как из параболы $y = ax^2$ получить параболу $y = a(x + p)^2 + q$? Приведите пример. Сделайте схематический рисунок.

Чтобы получить параболу $y = a(x + p)^2 + q$ из параболы $y = ax^2$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика параболы $y = ax^2$.

График функции $y = a(x + p)^2 + q$ — это та же парабола $y = ax^2$ (с тем же направлением ветвей и той же "шириной"), но ее вершина смещена из начала координат (точки $(0, 0)$) в точку с координатами $(-p, q)$.

Преобразование выполняется в два этапа:

• Сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox): Замена $x$ на $(x+p)$ означает сдвиг исходного графика $y=ax^2$ на $p$ единиц влево, если $p > 0$, или на $|p|$ единиц вправо, если $p < 0$. В общем виде, это сдвиг на $-p$ по оси абсцисс. Вершина параболы перемещается из $(0, 0)$ в точку $(-p, 0)$.
• Сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy): Прибавление константы $q$ означает сдвиг полученного на первом шаге графика на $q$ единиц вверх, если $q > 0$, или на $|q|$ единиц вниз, если $q < 0$. В общем виде, это сдвиг на $q$ по оси ординат. Вершина параболы перемещается из $(-p, 0)$ в точку $(-p, q)$.

Таким образом, для получения параболы $y = a(x+p)^2+q$ нужно сдвинуть параболу $y = ax^2$ на вектор $\vec{v}(-p, q)$.

Приведите пример.

Рассмотрим, как из параболы $y = x^2$ получить параболу $y = (x - 3)^2 - 2$.

Сравнивая уравнение $y = (x - 3)^2 - 2$ с общей формой $y = a(x + p)^2 + q$, мы видим, что:

• $a = 1$
• $p = -3$
• $q = -2$

Вершина исходной параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$.

Вершина новой параболы $y=(x-3)^2-2$ находится в точке $(-p, q) = (-(-3), -2) = (3, -2)$.

Следовательно, чтобы получить график параболы $y = (x - 3)^2 - 2$, нужно график параболы $y = x^2$:

1. Сдвинуть на 3 единицы вправо (так как $p = -3$, сдвиг на $-p=3$).
2. Сдвинуть на 2 единицы вниз (так как $q = -2$).

Сделайте схематический рисунок.

На рисунке показано преобразование параболы $y=x^2$ (показана синим пунктиром) в параболу $y=(x-3)^2-2$ (показана красной сплошной линией).

Ответ:

Чтобы из параболы $y=ax^2$ получить параболу $y=a(x+p)^2+q$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y=ax^2$ на вектор $\vec{v}(-p, q)$, то есть сдвинуть его на $|p|$ единиц по горизонтали (вправо при $p<0$, влево при $p>0$) и на $|q|$ единиц по вертикали (вверх при $q>0$, вниз при $q<0$).

9 Дана функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

а) Каково направление ветвей параболы, являющейся графиком данной функции, если $a > 0$? если $a < 0$?

б) Как вычислить координаты вершины параболы?

в) Как записать уравнение оси симметрии параболы?

а) Каково направление ветвей параболы, являющейся графиком данной функции, если a > 0? если a < 0?

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Направление ее ветвей определяется знаком старшего коэффициента $a$ (коэффициента при $x^2$).

Поведение функции при больших по модулю значениях аргумента $x$ определяется слагаемым $ax^2$, так как оно растет быстрее, чем $bx$.

Если коэффициент $a > 0$, то при $x \to \pm\infty$, значение $ax^2$ стремится к $+\infty$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Если коэффициент $a < 0$, то при $x \to \pm\infty$, значение $ax^2$ стремится к $-\infty$. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.

Ответ: если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

б) Как вычислить координаты вершины параболы?

Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего экстремума (минимума при $a>0$ или максимума при $a<0$). Координаты вершины параболы, обозначим их как $(x_0, y_0)$, вычисляются по следующим формулам.

Сначала находится абсцисса (координата $x$) вершины по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Затем, для нахождения ординаты (координаты $y$) вершины, нужно подставить найденное значение $x_0$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = a(x_0)^2 + bx_0 + c$

Подставив выражение для $x_0$ в уравнение, можно также получить прямую формулу для $y_0$:
$y_0 = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$
Эту формулу можно записать через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ как $y_0 = -\frac{D}{4a}$.

Ответ: Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0 = a(x_0)^2 + bx_0 + c$.

в) Как записать уравнение оси симметрии параболы?

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Эта прямая называется осью симметрии параболы.

Уравнение любой вертикальной прямой в декартовой системе координат имеет вид $x = k$, где $k$ — постоянная величина, равная абсциссе любой точки на этой прямой.

Так как ось симметрии проходит через вершину параболы $(x_0, y_0)$, ее уравнение совпадает с абсциссой вершины. Из предыдущего пункта мы знаем, что $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Следовательно, уравнение оси симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ имеет вид:
$x = -\frac{b}{2a}$

Ответ: Уравнение оси симметрии параболы: $x = -\frac{b}{2a}$.

1 На рисунке 2.5 (см. с. 76) изображён график зависимости высоты, на которой находится мяч, подброшенный вертикально вверх, от времени полёта. Ответьте с помощью графика на вопросы:

а) С какой высоты был брошен мяч?

б) Через какое время он достиг максимальной высоты?

в) На какую максимальную высоту поднялся мяч?

г) На какой высоте находился мяч через $0.5$ с? Через какое время после броска мяч ещё раз оказался на этой высоте?

д) Через сколько секунд мяч упал на землю?

а) Для того чтобы определить, с какой высоты был брошен мяч, необходимо найти значение высоты $h$ в начальный момент времени, то есть при $t=0$. На графике это соответствует точке пересечения кривой с осью высот (осью ординат). Согласно типичному графику для такой задачи, в момент времени $t=0$ с высота $h$ составляет 2 м.

Ответ: мяч был брошен с высоты 2 м.

б) Максимальная высота полёта соответствует вершине параболы, изображённой на графике. Чтобы найти время, через которое мяч достиг этой высоты, нужно найти координату вершины по горизонтальной оси (оси времени). По графику видно, что самая высокая точка траектории достигается в момент времени $t=2$ с.

Ответ: мяч достиг максимальной высоты через 2 с.

в) Максимальная высота — это значение высоты в самой верхней точке траектории мяча. Чтобы определить её, нужно найти координату вершины параболы по вертикальной оси (оси высот). По графику, эта высота равна 6 м.

Ответ: мяч поднялся на максимальную высоту 6 м.

г) Сначала найдём высоту мяча через 0,5 с после броска. Для этого находим на оси времени значение $t=0,5$ с, проводим вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — горизонтальную линию до оси высот. По графику, эта высота составляет 3,5 м.

Мяч находится на одной и той же высоте дважды: при подъёме и при спуске. Чтобы найти второй момент времени, когда мяч был на высоте 3,5 м, нужно провести горизонтальную линию на уровне $h=3,5$ м и найти вторую точку её пересечения с графиком. Траектория полёта симметрична относительно момента времени, когда была достигнута максимальная высота ($t=2$ с). Первый раз высота 3,5 м была достигнута через 0,5 с, то есть за $2 - 0,5 = 1,5$ с до пика. Следовательно, второй раз мяч будет на этой высоте через $1,5$ с после пика, то есть в момент времени $t = 2 + 1,5 = 3,5$ с.

Ответ: через 0,5 с мяч находился на высоте 3,5 м; мяч ещё раз оказался на этой высоте через 3,5 с после броска.

д) Падение мяча на землю означает, что его высота стала равна нулю ($h=0$). На графике это соответствует точке пересечения параболы с положительной частью оси времени (оси абсцисс). Глядя на график, мы видим, что это происходит в момент времени $t=4,5$ с.

Ответ: мяч упал на землю через 4,5 с.

2 Дана функция $y = x^2 + 3x + 2$.

а) Найдите значение функции при $x = -2$.

б) При каких значениях $x$ функция принимает значение, равное $6$?

в) Найдите нули функции.

Дана функция $y = x^2 + 3x + 2$.

а) Чтобы найти значение функции при $x = -2$, нужно подставить это значение в уравнение функции:
$y(-2) = (-2)^2 + 3 \cdot (-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.
Ответ: 0

б) Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает значение, равное 6, нужно приравнять функцию к 6 и решить получившееся уравнение:
$x^2 + 3x + 2 = 6$
Перенесем 6 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 3x + 2 - 6 = 0$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$
$x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: -4; 1

в) Нули функции — это значения $x$, при которых значение функции $y$ равно 0. Для их нахождения нужно решить уравнение:
$x^2 + 3x + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 1}{2}$
$x_1 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: -2; -1

3 Постройте график функции:

a) $y = \frac{1}{2}x^2$;

б) $y = -x^2$.

В каждом случае укажите промежутки возрастания и убывания функции.

а) $y = \frac{1}{2}x^2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = \frac{1}{2}$. Так как коэффициент $a > 0$, график этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Функция является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 = \frac{1}{2}x^2 = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе, и составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции $y = \frac{1}{2}x^2$.

Теперь определим промежутки возрастания и убывания функции. Вершина параболы $(0, 0)$ является точкой минимума.

• На промежутке от $-\infty$ до $0$ с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• На промежутке от $0$ до $+\infty$ с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

б) $y = -x^2$

Это также квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = -1$. Так как коэффициент $a < 0$, график этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = y(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

Для построения графика составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график функции $y = -x^2$.

Определим промежутки возрастания и убывания. Вершина параболы $(0, 0)$ является точкой максимума.

• На промежутке от $-\infty$ до $0$ с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• На промежутке от $0$ до $+\infty$ с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

4 Проходит ли график функции $y = \frac{1}{2}x^2$ через точку: $A(8; -32)$; $B(-30; 450)$; $C(30; 450)$?

Чтобы проверить, проходит ли график функции через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику функции. В противном случае — не принадлежит.

Дана функция $y = \frac{1}{2}x^2$.

A(8; -32)
Подставим координаты точки A, где $x = 8$ и $y = -32$, в уравнение функции:
$-32 = \frac{1}{2}(8)^2$
$-32 = \frac{1}{2} \cdot 64$
$-32 = 32$
Полученное равенство неверно. Следовательно, график функции не проходит через точку A.
Ответ: не проходит.

B(-30; 450)
Подставим координаты точки B, где $x = -30$ и $y = 450$, в уравнение функции:
$450 = \frac{1}{2}(-30)^2$
$450 = \frac{1}{2} \cdot 900$
$450 = 450$
Полученное равенство верно. Следовательно, график функции проходит через точку B.
Ответ: проходит.

C(30; 450)
Подставим координаты точки C, где $x = 30$ и $y = 450$, в уравнение функции:
$450 = \frac{1}{2}(30)^2$
$450 = \frac{1}{2} \cdot 900$
$450 = 450$
Полученное равенство верно. Следовательно, график функции проходит через точку C.
Ответ: проходит.

5 Укажите координаты вершины параболы:

а) $y = 2x^2$;

б) $y = x^2 - 3$;

в) $y = x^2 + 10$;

г) $y = (x - 1)^2$;

д) $y = 2(x + 3)^2$;

е) $y = (x - 2)^2 + 1$.

Для нахождения координат вершины параболы используется её уравнение в так называемой вершинной форме: $y = a(x - h)^2 + k$. В этой форме точка с координатами $(h, k)$ и является вершиной параболы. Для решения задачи приведем каждое уравнение к этой форме.

а) Уравнение $y = 2x^2$ можно переписать в вершинной форме как $y = 2(x - 0)^2 + 0$. Сравнивая с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, получаем, что $h = 0$ и $k = 0$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
Ответ: $(0, 0)$

б) Уравнение $y = x^2 - 3$ можно переписать в вершинной форме как $y = 1(x - 0)^2 - 3$. Отсюда видно, что $h = 0$ и $k = -3$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.
Ответ: $(0, -3)$

в) Уравнение $y = x^2 + 10$ можно переписать в вершинной форме как $y = 1(x - 0)^2 + 10$. Отсюда $h = 0$ и $k = 10$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, 10)$.
Ответ: $(0, 10)$

г) Уравнение $y = (x - 1)^2$ уже находится в вершинной форме, его можно записать как $y = 1(x - 1)^2 + 0$. Сравнивая с $y = a(x - h)^2 + k$, получаем, что $h = 1$ и $k = 0$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$

д) Уравнение $y = 2(x + 3)^2$ можно представить в виде $y = 2(x - (-3))^2 + 0$. Это вершинная форма, где $h = -3$ и $k = 0$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$.
Ответ: $(-3, 0)$

е) Уравнение $y = (x - 2)^2 + 1$ уже представлено в вершинной форме $y = a(x-h)^2 + k$. Отсюда напрямую видно, что $h = 2$ и $k = 1$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$

6 На рисунке 2.26 (см. с. 97) изображён график функции

$y = x^2 + 4x - 5$. С помощью графика определите:

а) нули функции;

б) значение функции, которое она принимает при $x = -1$;

в) значения $x$, при которых значение функции равно 5;

г) значения $x$, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения;

д) наименьшее значение функции;

е) промежуток, на котором функция возрастает; убывает.

а) нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы их найти, необходимо решить уравнение $y = 0$, то есть $x^2 + 4x - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$
На графике это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс (ось $Ox$).
Ответ: $x = -5, x = 1$.

б) значение функции, которое она принимает при x = -1
Чтобы найти значение функции при $x = -1$, подставим это значение в уравнение функции $y = x^2 + 4x - 5$:
$y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$
На графике это ордината точки на параболе, абсцисса которой равна -1.
Ответ: $y = -8$.

в) значения x, при которых значение функции равно 5
Чтобы найти значения $x$, при которых $y = 5$, решим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 5$:
$x^2 + 4x - 10 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 16 + 40 = 56$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -2 \pm \sqrt{14}$
На графике это абсциссы точек пересечения параболы с горизонтальной прямой $y=5$.
Ответ: $x = -2 - \sqrt{14}, x = -2 + \sqrt{14}$.

г) значения x, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения
График функции $y = x^2 + 4x - 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-5$ и $x=1$ (нули функции).
Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах левее и правее корней.
Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (-5; 1)$.

д) наименьшее значение функции
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Наименьшее значение функции — это ордината вершины. Подставим $x_в = -2$ в уравнение функции:
$y_{наим} = y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Ответ: наименьшее значение функции равно -9.

е) промежуток, на котором функция возрастает; убывает
Возрастание и убывание квадратичной функции определяется положением ее вершины. Вершина параболы $y = x^2 + 4x - 5$ находится в точке с абсциссой $x = -2$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.
Промежуток убывания: $(-\infty; -2]$.
Промежуток возрастания: $[-2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.