Номер 8, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратичная функция - номер 8, страница 138.

8 Как из параболы $y = ax^2$ получить параболу $y = a(x + p)^2 + q$? Приведите пример. Сделайте схематический рисунок.

Чтобы получить параболу $y = a(x + p)^2 + q$ из параболы $y = ax^2$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика параболы $y = ax^2$.

График функции $y = a(x + p)^2 + q$ — это та же парабола $y = ax^2$ (с тем же направлением ветвей и той же "шириной"), но ее вершина смещена из начала координат (точки $(0, 0)$) в точку с координатами $(-p, q)$.

Преобразование выполняется в два этапа:

• Сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox): Замена $x$ на $(x+p)$ означает сдвиг исходного графика $y=ax^2$ на $p$ единиц влево, если $p > 0$, или на $|p|$ единиц вправо, если $p < 0$. В общем виде, это сдвиг на $-p$ по оси абсцисс. Вершина параболы перемещается из $(0, 0)$ в точку $(-p, 0)$.
• Сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy): Прибавление константы $q$ означает сдвиг полученного на первом шаге графика на $q$ единиц вверх, если $q > 0$, или на $|q|$ единиц вниз, если $q < 0$. В общем виде, это сдвиг на $q$ по оси ординат. Вершина параболы перемещается из $(-p, 0)$ в точку $(-p, q)$.

Таким образом, для получения параболы $y = a(x+p)^2+q$ нужно сдвинуть параболу $y = ax^2$ на вектор $\vec{v}(-p, q)$.

---

Приведите пример.

Рассмотрим, как из параболы $y = x^2$ получить параболу $y = (x - 3)^2 - 2$.

Сравнивая уравнение $y = (x - 3)^2 - 2$ с общей формой $y = a(x + p)^2 + q$, мы видим, что:

• $a = 1$
• $p = -3$
• $q = -2$

Вершина исходной параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$.

Вершина новой параболы $y=(x-3)^2-2$ находится в точке $(-p, q) = (-(-3), -2) = (3, -2)$.

Следовательно, чтобы получить график параболы $y = (x - 3)^2 - 2$, нужно график параболы $y = x^2$:

1. Сдвинуть на 3 единицы вправо (так как $p = -3$, сдвиг на $-p=3$).
2. Сдвинуть на 2 единицы вниз (так как $q = -2$).

---

Сделайте схематический рисунок.

На рисунке показано преобразование параболы $y=x^2$ (показана синим пунктиром) в параболу $y=(x-3)^2-2$ (показана красной сплошной линией).

Ответ:

Чтобы из параболы $y=ax^2$ получить параболу $y=a(x+p)^2+q$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y=ax^2$ на вектор $\vec{v}(-p, q)$, то есть сдвинуть его на $|p|$ единиц по горизонтали (вправо при $p<0$, влево при $p>0$) и на $|q|$ единиц по вертикали (вверх при $q>0$, вниз при $q<0$).