Номер 9, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратичная функция - номер 9, страница 138.

9 Дана функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

а) Каково направление ветвей параболы, являющейся графиком данной функции, если $a > 0$? если $a < 0$?

б) Как вычислить координаты вершины параболы?

в) Как записать уравнение оси симметрии параболы?

а) Каково направление ветвей параболы, являющейся графиком данной функции, если a > 0? если a < 0?

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Направление ее ветвей определяется знаком старшего коэффициента $a$ (коэффициента при $x^2$).

Поведение функции при больших по модулю значениях аргумента $x$ определяется слагаемым $ax^2$, так как оно растет быстрее, чем $bx$.

Если коэффициент $a > 0$, то при $x \to \pm\infty$, значение $ax^2$ стремится к $+\infty$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Если коэффициент $a < 0$, то при $x \to \pm\infty$, значение $ax^2$ стремится к $-\infty$. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.

Ответ: если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

б) Как вычислить координаты вершины параболы?

Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего экстремума (минимума при $a>0$ или максимума при $a<0$). Координаты вершины параболы, обозначим их как $(x_0, y_0)$, вычисляются по следующим формулам.

Сначала находится абсцисса (координата $x$) вершины по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Затем, для нахождения ординаты (координаты $y$) вершины, нужно подставить найденное значение $x_0$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = a(x_0)^2 + bx_0 + c$

Подставив выражение для $x_0$ в уравнение, можно также получить прямую формулу для $y_0$:
$y_0 = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$
Эту формулу можно записать через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ как $y_0 = -\frac{D}{4a}$.

Ответ: Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0 = a(x_0)^2 + bx_0 + c$.

в) Как записать уравнение оси симметрии параболы?

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Эта прямая называется осью симметрии параболы.

Уравнение любой вертикальной прямой в декартовой системе координат имеет вид $x = k$, где $k$ — постоянная величина, равная абсциссе любой точки на этой прямой.

Так как ось симметрии проходит через вершину параболы $(x_0, y_0)$, ее уравнение совпадает с абсциссой вершины. Из предыдущего пункта мы знаем, что $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Следовательно, уравнение оси симметрии параболы $y = ax^2 + bx + c$ имеет вид:
$x = -\frac{b}{2a}$

Ответ: Уравнение оси симметрии параболы: $x = -\frac{b}{2a}$.